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Update: Habe unten ein Update eingefügt!
| Aufgabe | Bestimmen Sie
1. den Eerwartungswert [mm]E\left( W^n_t \right)[/mm] für t > 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Und zwar, hänge ich schon längere Zeit an dieser Frage. Ich hab schon überall nach Hinweisen gesucht. Aber nirgends eine Lösung gefunden, wie man diese Funktion komplett herleiten kann (so wie zum Beispiel den Erwartungswert einer Gauss-Verteilung oder Binominalverteilung).
Ich habe wirklich keine Idee. Wenn jemand mir helfen könnte um mir auf die Sprüunge zu helfen wäre ich sehr dankbar.
Muss ich hier so anfangen??
[mm]\int t^n f(t)\, dt[/mm]
Bisher habe ich soviel Zeit verschwendet um einen Ansatz zu finden um das ganze zu lösen. Ich habe nichts gefunden und hoffe ihr könnte mir helfen den richtigen Ansatz zu finden!
lg
peter_xxx
Update: 15:30 - 8.Juni 2012
Beim Mittagessen habe ich einen Gedankenblitz bekommen. Und zwar ist ja [mm] \sigma [/mm] = t. Daher muss ich nicht t sondern einfach x einsetzen. Habe erst das ganze für [mm] W_t^2 [/mm] gerechnet. Da kam wie erwartet t raus. Habe das ganze jetzt auf n verallgemeinert. Dort gilt aber für jedes ungerade n, das der EW = 0 ist (symmetrische Grenzen und ungerade Funktion). Deshalb habe ich das ganze auf geändert und geschrieben, dass [mm] E(W_t^2n) [/mm] gelten muss. Das ganze habe ich jetzt durchgerechnet, wie folgt:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi t}} \integral{x^{2n}e^{-\bruch{1}{2}\links( \bruch{x}{\wurzel{t}}\rechts)^2}dx}[/mm]
sub: u = [mm] \bruch{x}{\wurzel{t}}
[/mm]
[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi t}} \integral{\links( u\wurzel{t}\rechts)^{2n}e^{-\bruch{1}{2}u^2}\wurzel{t} du}[/mm]
[mm]\bruch{t^n}{\wurzel{2\pi}} \integral{(-u)^{2n-1}(-u)e^{-\bruch{1}{2}u^2}du}[/mm]
Jetzt wende ich partielle Integration an und dan bleibt übrig:
[mm]\bruch{t^n(2n-1)}{\wurzel{2\pi}} \integral{u^{2n-2}e^{-\bruch{1}{2}u^2}du}[/mm]
Passt das ganze bis hier?
Wenn ja, dann jetzt folgende Frage:
Kommt beim Gauschen Fehlerintegral in dieser Form jetzt immer [mm] \wurzel{2\pi} [/mm] raus??
Wenn wieder ja, wieso fällt der Teil vorne weg (also die [mm] u^{2n-2})?? [/mm]
Wenn auf Frage mit Gauschen Fehlerintegral, Antwort nein ist:
wie muss ich weiterrechnen jetzt??
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Hiho,
> Muss ich hier so anfangen??
> [mm]\int t^n f(t)\, dt[/mm]
jo, wobei t als Parameter doof ist. Nimm lieber:
[mm] $\int x^n f(x)\, [/mm] dx$
und f(x) ist die Dichte der Normalverteilung zu (0,t)
n-fache Anwendung der partiellen Integration liefert das Gewünschte Ergebnis.
MFG,
Gono.
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Hallo Gonozal,
Habe gerade ein Update in meinen Post hinein editiert, während du geantwortet hattest.
Ich glaube, dass ich dabei deine Antwort jetzt berücksichtigt habe. Also müsste mein Teil glaub ich richtig sein. Bleibt die Frage von mir mit dem Gauschen Fehlerintegral übrig.
Hast du eine Antwort auf die Frage?
MfG
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Hiho,
ich glaube, du rennst einfach offene Türen ein.
Es ist doch wie folgt: [mm] $W_t$ [/mm] ist doch [mm] $\mathcal{N}(0,t)$ [/mm] verteilt, deine Frage beschränkt sich also einfach darauf, wie allgemein der Ausdruck [mm] $E[X^n]$ [/mm] für [mm] $X\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ [/mm] aussieht (dass [mm] W_t [/mm] zusätzlich ein Wiener-Prozess ist, ist dabei erstmal nur nebensächlich)
Und deine Erkenntnis, dass [mm] $E[X^n] [/mm] = 0$ für ungerade n, wenn $X [mm] \sim \mathcal{N}(0,t)$ [/mm] stimmt auch mit dem überein, was man sofort ![[]](/images/popup.gif) für die Normalverteilung nachschlagen kann.
Zu deinen Berechnungen: Den Trick mit dem [mm] $u^{2n} [/mm] = [mm] (-u)^{2n}$ [/mm] war gar net so schlecht ^^
Nun halt weiter mit partieller Integration.
MFG,
Gono.
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Hallo Gonozal,
Ich komm nicht wirklich weiter.... glaub ich zumindest. Ich meine, irgendwo mal gelesen zu haben, dass die Lösung für meine Frage, [mm] t^n (2n-1) [/mm] ist. Also habe ich den ganzen Nachmittag versucht, weiter mit der partiellen Integration zu arbeiten, aber nie auf das Ergebnis gekommen. Mittlerweile glaube ich, ob die Lösung die ich im Kopf habe, falsch ist (wie gesagt, die ist irgendwo im Internet mal vorbei geschwebt).
Mit partitieller Integration komm ich dann auf
[mm](2n-1)\times(2n-3)\times(2n-5)[/mm] usw. Ich glaube dass das stimmen müsste. Aber mich verunsichert, das Ergebnis was ich oben im Internet gefunden habe. Wäre super, wenn du mich wieder auf den richtigen Pfad führen kannst :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 12.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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