Erwartungswert und Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Anzahl X der Tanker, die täglich eine Raffinerie anlaufen, sei Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda [/mm] = 3. Die Raffinerie kann täglich bis zu 4 Tanker abfertigen. Weitere Tanker müssen abgewiesen werden und andere Raffinierien anlaufen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem Tag mindestens einen Tanker abweisen zu müssen?
b) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der Anzahl der Tanker, die täglich abgefertigt werden?
c) Wie groß müsste die Kapazität der Raffinerie mindestens sein, damit an einem Tag mit Wahrscheinlichkeit 0.9 kein Tanker abgewiesen werden muss? |
Hallo!
Ich habe zu a und b schon weitgehend Lösungen, bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist! Könnte da mal jemand drauf schauen?
Und am Schluss habe ich eine Frage zur Varianz, da wäre es sehr nett, wenn mir jemand helfen würde!
a)
Durch Poisson-Verteilung mit [mm] \lambda [/mm] = 3 wissen wir, dass
[mm] P(X=k)=\bruch{3^{k}}{k!}*e^{-3}
[/mm]
Dann ist die Wsk, dass mehr als 4 Tanker kommen
P(X>4)=1-P(X [mm] \le [/mm] 4) = 1- (P(X=4)+P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)) (<-wegen Unabhängigkeit der Ereignisse)
= 1- [mm] (\bruch{3^{4}}{4!}*e^{-3}+...+\bruch{3^{0}}{0!}*e^{-3})
[/mm]
= 1- [mm] 16.375*e^{-3}
[/mm]
= 0.1847
Die Wsk, dass an einem Tag ein Tanker abgewiesen werden muss, ist also 18,47%.
b)
Betrachte Y=min{4,X}
Dann ist [mm] P(Y=i)=\begin{cases} P(X=i), & \mbox{für } i \le 3 \\ P(X \ge 4), & \mbox{für } i =4 \end{cases}
[/mm]
Dann ist P(Y=4)=1-P(X [mm] \le [/mm] 3) = ... (gleiches Prinzip wie in a )
= [mm] 1-9*e^{-3} [/mm] = 0.522
Und dann folgt
E(Y)= [mm] \summe_{i=0}^{4} [/mm] i*P(Y=i)
= 4*P(Y=4)+...+0*P(Y=0) (einsetzen)
= 4.897
Der gesuchte Erwartungswert ist also ungefähr 4.897.
Für die Varianz gilt:
[mm] Var(Y)=E(Y^{2})-E^{2}(Y)
[/mm]
Das mit [mm] Y^{2} [/mm] verwirrt mich aber ein bisschen, was heißt das genau?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 17.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Anzahl X der Tanker, die täglich eine Raffinerie
> anlaufen, sei Poisson-verteilt zum Parameter [mm]\lambda[/mm] = 3.
> Die Raffinerie kann täglich bis zu 4 Tanker abfertigen.
> Weitere Tanker müssen abgewiesen werden und andere
> Raffinierien anlaufen.
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem Tag
> mindestens einen Tanker abweisen zu müssen?
> b) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der Anzahl
> der Tanker, die täglich abgefertigt werden?
> c) Wie groß müsste die Kapazität der Raffinerie
> mindestens sein, damit an einem Tag mit Wahrscheinlichkeit
> 0.9 kein Tanker abgewiesen werden muss?
> Hallo!
> Ich habe zu a und b schon weitgehend Lösungen, bin mir
> aber nicht sicher, ob das so richtig ist! Könnte da mal
> jemand drauf schauen?
> Und am Schluss habe ich eine Frage zur Varianz, da wäre
> es sehr nett, wenn mir jemand helfen würde!
>
> a)
> Durch Poisson-Verteilung mit [mm]\lambda[/mm] = 3 wissen wir, dass
> [mm]P(X=k)=\bruch{3^{k}}{k!}*e^{-3}[/mm]
> Dann ist die Wsk, dass mehr als 4 Tanker kommen
> P(X>4)=1-P(X [mm]\le[/mm] 4) = 1-
> (P(X=4)+P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)) (<-wegen
> Unabhängigkeit der Ereignisse)
> = 1-
> [mm](\bruch{3^{4}}{4!}*e^{-3}+...+\bruch{3^{0}}{0!}*e^{-3})[/mm]
> = 1- [mm]16.375*e^{-3}[/mm]
> = 0.1847
> Die Wsk, dass an einem Tag ein Tanker abgewiesen werden
> muss, ist also 18,47%.
Sieht huebsch aus.
>
> b)
> Betrachte Y=min{4,X}
> Dann ist [mm]P(Y=i)=\begin{cases} P(X=i), & \mbox{für } i \le 3 \\ P(X \ge 4), & \mbox{für } i =4 \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist P(Y=4)=1-P(X [mm]\le[/mm] 3) = ... (gleiches Prinzip wie in
> a )
> = [mm]1-9*e^{-3}[/mm] = 0.522
> Und dann folgt
> E(Y)= [mm]\summe_{i=0}^{4}[/mm] i*P(Y=i)
> = 4*P(Y=4)+...+0*P(Y=0) (einsetzen)
> = 4.897
Der Rechenweg sieht richtig aus, aber der Erwartungswert muss ja zwischen $0$ und $4$ liegen.
>
> Der gesuchte Erwartungswert ist also ungefähr 4.897.
>
> Für die Varianz gilt:
> [mm]Var(Y)=E(Y^{2})-E^{2}(Y)[/mm]
>
> Das mit [mm]Y^{2}[/mm] verwirrt mich aber ein bisschen, was heißt
> das genau?
Einfach $Y$ mit sich selber multiplizert. Hier ist [mm] $E(Y^{2})= \sum_{i=0}^{4} i^{2}P(Y=i)$. [/mm] Du kennst aber auch noch eine andere Formel fuer die Varianz: $V(Y)= [mm] \sum_{i=0}^{4} (i-E(Y))^{2}P(Y=i)$; [/mm] nimm diese, wenn Dir die andere nicht geheuer ist.
>
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
>
> Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke erstmal für die schnelle Reaktion! 
> > b)
E(Y)
> > = 4.897
> Der Rechenweg sieht richtig aus, aber der Erwartungswert
> muss ja zwischen [mm]0[/mm] und [mm]4[/mm] liegen.
Ich habe es nochmal nachgerechnet und da hatte sich ein Rechenfehler eingeschlichen.
Jetzt habe ich E(Y)=2.6559
> >
> > Für die Varianz gilt:
> > [mm]Var(Y)=E(Y^{2})-E^{2}(Y)[/mm]
> >
> > Das mit [mm]Y^{2}[/mm] verwirrt mich aber ein bisschen, was heißt
> > das genau?
> Einfach [mm]Y[/mm] mit sich selber multiplizert. Hier ist [mm]E(Y^{2})= \sum_{i=0}^{4} i^{2}P(Y=i)[/mm].
> Du kennst aber auch noch eine andere Formel fuer die
> Varianz: [mm]V(Y)= \sum_{i=0}^{4} (i-E(Y))^{2}P(Y=i)[/mm]; nimm
> diese, wenn Dir die andere nicht geheuer ist.
Y mit sich selbst multiplizieren?
hm... das ist mir noch nicht so klar, weil Y ja unterschiedlich sein kann, und wie man ein Minimum mit sich selbst multipliziert ohne das Ergebnis zu kennen, das verwirrt mich noch.
Aber ich habe es mal mit deiner Formel ausprobiert, also mit [mm] E(Y^{2})= \sum_{i=0}^{4} i^{2}P(Y=i)
[/mm]
dann habe ich [mm] Var(Y)=8.61-2.6559^2=1.56
[/mm]
Zum Verständnis:
Das heißt jetzt also, dass diese Raffinerie erwarten kann pro Tag ca 2 1/2 Tanker abzufertigen. Wenigstens jedoch (2.6-1.6=1) einen und höchstens (2.6+1.6=4.2) vier.
Stimmt das so?
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 17.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Danke erstmal für die schnelle Reaktion!
>
> > > b)
> E(Y)
> > > = 4.897
> > Der Rechenweg sieht richtig aus, aber der
> Erwartungswert
> > muss ja zwischen [mm]0[/mm] und [mm]4[/mm] liegen.
>
> Ich habe es nochmal nachgerechnet und da hatte sich ein
> Rechenfehler eingeschlichen.
> Jetzt habe ich E(Y)=2.6559
>
> > >
> > > Für die Varianz gilt:
> > > [mm]Var(Y)=E(Y^{2})-E^{2}(Y)[/mm]
> > >
> > > Das mit [mm]Y^{2}[/mm] verwirrt mich aber ein bisschen, was heißt
> > > das genau?
> > Einfach [mm]Y[/mm] mit sich selber multiplizert. Hier ist
> [mm]E(Y^{2})= \sum_{i=0}^{4} i^{2}P(Y=i)[/mm].
> > Du kennst aber auch noch eine andere Formel fuer die
> > Varianz: [mm]V(Y)= \sum_{i=0}^{4} (i-E(Y))^{2}P(Y=i)[/mm]; nimm
> > diese, wenn Dir die andere nicht geheuer ist.
>
> Y mit sich selbst multiplizieren?
> hm... das ist mir noch nicht so klar, weil Y ja
> unterschiedlich sein kann, und wie man ein Minimum mit sich
> selbst multipliziert ohne das Ergebnis zu kennen, das
> verwirrt mich noch.
Mach es so: setze $Z:= [mm] Y^{2}$ [/mm] und bilde ganz normal $E[Z]$. $Z$ ist diskret und kann die Werte $0,1, 4,9,16$ annehmen. Ferner ist [mm] $P(Z=k^{2})= [/mm] P(Y= k)$ etc.
> Aber ich habe es mal mit deiner Formel ausprobiert, also
> mit [mm]E(Y^{2})= \sum_{i=0}^{4} i^{2}P(Y=i)[/mm]
> dann habe ich
> [mm]Var(Y)=8.61-2.6559^2=1.56[/mm]
>
> Zum Verständnis:
> Das heißt jetzt also, dass diese Raffinerie erwarten kann
> pro Tag ca 2 1/2 Tanker abzufertigen. Wenigstens jedoch
> (2.6-1.6=1) einen und höchstens (2.6+1.6=4.2) vier.
> Stimmt das so?
Ich habe Deine Zahlen nicht ueberprueft. Aber gerundet hast nicht richtig: [mm] $E[Y]\approx [/mm] 2.7$! Dieses sog. [mm] $1\sigma$-Intervall, [/mm] das Du berechnet hast, sagt uns, dass mit ca. [mm] $68\%$er [/mm] Wahrscheinlichkeit (der genaue bzw. richtige Wert steht in Deinem Stochastikbuch) pro Tag zwischen $1$ und $4$ Schiffe abgfertigt werden.
>
> Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 17.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ja, auf das Runden habe ich gerade nicht so sehr geachtet,
wollte nur eine ungefähre Vorstellung haben.
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Fr 18.07.2014 | | Autor: | hippias |
Ich habe vergessen die Wurzel zu ziehen, sodass Du gar nicht das [mm] $1\sigma$ [/mm] Intervall berechnet hast, sondern sozusagen das $1Var$ Intervall.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, das habe ich noch gar nicht bemerkt, aber danke!
Stimmt, denn die Varianz ist ja [mm] \sigma^{2} [/mm] !
|
|
|
|
