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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Do 15.07.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo liebe Boarduser,
bin seit heute neu hier. Mich beschäftigt schon länger ein Problem, für das ich noch keine Lösung gefunden habe.
Ich weiß auch nicht so recht, wo (im Internet) ich eigentlich suchen soll. Dabei will ich hier anmerken, dass ich KEIN Schüler oder Student bin, sondern mich als Privatperson nur ein wenig für Mathematik interessiere, gem. "Mathematik für jedermann und jedefrau". Jetzt zur eigentlichen Frage:
Es gibt Zahlen n-ter Potenz, die sich als Summe von n Summanden n-ter Potenz dartellen lassen.
Beispiel:
Bei n = 2 hat man ein Pythagoräisches Zahlentripel, z. B.
[mm] 3^2 + 4^2 = 5^2 [/mm]
die Lösung für n = 3 lautet beispielsweise
[mm] 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 [/mm]
bei n = 4 hieße das also
[mm] a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 [/mm] usw.
Lässt sich diese Aussage verallgemeinern, so dass für alle n gilt:
[mm] a_1^n + a_2^n + a_3^n + a_4^n + ... + a_{(n-2)}^n + a_{(n-1)}^n + a_n^n = b^n [/mm] ?
[mm] \left\{ a, b, n \right\} \in\IN [/mm]
Meine Frage ist nun, ob es immer möglich ist, dass sich ein Quadrat in die Summe zweier Quadrate zerlegen lässt (klar: Pythagoras), ein Kubus in die Summe von drei Kuben, ein Biquadrat in die Summe von vier Biquadrate? Verallgemeinert ausgedrückt: Lässt sich eine Zahl n-ter Potenz als Summe von n Summanden n-ter Potenz darstellen?
Ich habe von diesem Problem noch nirgends etwas gesehen, gehört oder gelesen und weiß auch nicht, ob es eines ist oder als solches überhaupt existiert.
Dabei will ich hier keinen Wettbewerb veranstalten - nur um evtl. Missverständnissen entgegen zu treten. Als Lösung genügt mir bereits - falls möglich - eine relativ einfache Antwort (z. B. "Ja, das ist möglich"). Noch lieber wäre mir ein entsprechender Hinweis, wo ich im Internet dies nachlesen kann (z. B. "Die Lösung Deines Problems steht unter http://www. ..."). Im Voraus besten Dank.
Gruß
leaven
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik-online.de
(war im November 2003 (sonst nirgendwo) und bis heute noch keine Antwort erhalten bzw. dort gefunden)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Do 15.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven,
da ich keine Ahnung von algebraischer Geometrie habe, kann ich dir die Frage nicht beantworten, dir aber einen Denkanstoß geben.
Frage ist ja gleichbedeutend damit, ob es (zumindestens für gerades $n$) auf der Einheitsspäre in beliebigen Dimensionen nichttriviale rationale Punkte gibt (teile die Gleichung durch [mm] $b^n$). [/mm] (Für ungerades $n$ ist es im Allgemeinen nur die komponententweise gezogene Wurzel eines rationalen Punktes auf der Sphäre.) Das weiß ich nicht, aber ich weiß, dass es in der algebraischen Geometrie ein wichtiger Forschungsgegenstand ist, ob (und wieviele) rationale Punkte auf Quadriken enthalten sind.
[Link gelöscht] <- war Blödsinn
Ansonsten überlasse ich den Algebraikern das Wort. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Do 15.07.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo stefan,
zunächst vielen Dank für Deine schnelle Antwort und Deinen Denkanstoß!
Da werde ich wohl in einer Bibliothek nach Deinem Buchtipp suchen müssen oder ca. US-$ 36 ausgeben als Antwort auf meine Frage...
Da mein math. Background leider nicht so groß ist wie Deiner (bitte jetzt nicht als Vorwurf verstehen, sondern meine große Anerkennung Dir gegenüber!) könntest Du mir bitte erklären, was an dem Problem so schwierig ist. Liegt es daran, weil es evtl. so ähnlich aussieht wie Fermats Letzter Satz?
Oder sind hierbei tiefe zahlentheoretische Überlegungen notwendig, die vielleicht hier zu weit führen würden?
Gruß
leaven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 15.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven!
Ich würde mir das Buch nicht kaufen, da es vermutlich tierisch abgedreht ist und nicht klar ist, ob deine Lösung dort wirklich drin steht.
Warum packst du so ein heißes Eisen an? Ich würde es erst einmal mit einfacher Zahlentheorie versuchen. Für Lösungen solcher Probleme wurden schon nicht ganz unbedeutende Preise vergeben.
Algebraische (oder besser, wie hier: arithmetische) Geomtrie ist echt nur was für die ganz Harten, und zu denen zähle ich, ungeachtet meines Namens , nicht.
Es könnte sein, dass man den rationalen Teil der Sphäre durch Schnitte der Quadrik mit Hyperebenenscharen (wobei die Scharparameter rational sind) parametrisieren kann und so auf eine Existenzaussage kommt. Aber das ist mir echt drei Nummern zu hoch, und ich würde auch an deiner Stelle die Finger davon lassen.
Dennoch lasse ich bis Ende der Fälligkeit die Frage auf "teilweise beantwortet", vielleicht ist es ja auch trivial und ich sehe die Lösung nur einfach nicht.
Noch einmal: Du bist natürlich nur an nichttrivialen Lösungen interessiert, d.h. wo alle Koordinaten echt positiv sind. Ansonsten wären ja einfach Punkte auf den Koordinatenachsen triviale Lösungen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Josef |
Ein einfacheres Beispiel ist in dem Buch " Was ist Mathematik?" von Richard Courant - Herbert Robbins; Springer-Verlag unter § 3. Pythagoreische Zahlen und großer Fermatscher Satz abgehandelt:
Zitat:
Das Ergebnis für pythagoreische Zahlen läßt natürlich die Frage entstehen, ob ganze Zahlen a, b, c, gefunden werden können, für die [mm] a^3+b^3=c^3 [/mm] oder [mm] a^4+b^4=c^4 [/mm] ist, oder allgemeiner, ob für einen gegebenen positiven ganzen Exponenten n > 2 die Gleichung
[mm] a^n+b^n=c^n
[/mm]
mit positiven ganzen Zahlen a, b, c gelöst werden kann.
Diese Frage führt zu einer in der Geschichte der Mathematik höchst bemerkenswerten Entwicklung:
Fermat hat viele wichtige zahlentheoretische Entdeckungen in Randbemerkungen in seinem Exemplar des Werkes von Diophantur, dem großen Zahlentheoretiker der Antike, niedergelegtl Er hat dort viele Sätze ausgesprochen, ohne sich mit deren Beweis aufzuhalten, und diese Sätze sind alle später bewiesen worden, mit einer wichtigen Ausnahme. Bei seinen Anmerkungen zu den pythagoreischen Zahlen schrieb Fermat, dass die Gleichung [mm] a^n+b^n [/mm] = [mm] c^n [/mm] nicht in ganzen Zahlen lösbar sei, sobald n eine ganze Zahl > 2 ist; aber der elegante Beweis, den er hierfür gefunden habe, sei leider zu lang für den Rand, auf den er schreibe.
Diese allgemeine Behauptung Fermats konnte bisher weder widerlegt noch bewiesen werden, obwohl sich viele der größten Mathematiker darum bemüht haben. Der Satz ist allerdings für viele spezielle Werte von n bewiesen worden, insbesondere für alle < 619, aber nicht für alle n, obgleich niemals ein Gegenbeispiel geliefert worden ist. Wenn der Satz selbst auch mathematisch kein überwältigendes Interesse bieten mag, so haben Versuche, ihn zu beweisen, doch manche bedeutende zahlentheoretische Untersuchung veranlaßt.
Das Problem hat auch in nichtmathematischen Kreisen viel Aufsehen erregt, zum Teil wegen eines Preises von 100.000 Mark, der für denjenigen ausgesetz wurde, der die erste Lösung des Problems liefern würde. Der Preis wurde von der Göttinger Akademie der Wissenschaften verwaltet, und bis zu seiner Entwertung durch die Inflation wurde jedes Jahr eine große Anzahl unrichtiiger Lösungen den Treuhändern eingesandt.
Selbst ernstzunehmende Mathematiker täuschten sich zuweilen und übesandten oder veröffentlichten Beweise, die zusmmenbrachen, nachdem irgendein oberflächlicher Fehler entdeckt worden war. Das allgemeine Interesse scheint seit der Geldentwertung etwas nachgelassen zu haben; doch von Zeit zu Zeit findet sich noch immer die sensationelle Mitteilung in der Presse, dass das Problem von einem bis dato unbekannten Genie gelöst worden sei.
Zitat Ende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Josef!
> Ein einfacheres Beispiel
Naja, einfacher... Das war eine der schwierigsten Fragestellungen der Mathematikgeschichte und dafür wurde die Fields-Medaille vergeben.
> ist in dem Buch " Was ist
> Mathematik?" von Richard Courant - Herbert Robbins;
> Springer-Verlag unter § 3. Pythagoreische Zahlen und
> großer Fermatscher Satz abgehandelt:
>
> Zitat:
>
> Das Ergebnis für pythagoreische Zahlen läßt natürlich die
> Frage entstehen, ob ganze Zahlen a, b, c, gefunden werden
> können, für die [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] oder [mm]a^4+b^4=c^4[/mm] ist, oder
> allgemeiner, ob für einen gegebenen positiven ganzen
> Exponenten n > 2 die Gleichung
>
> [mm]a^n+b^n=c^n
[/mm]
>
> mit positiven ganzen Zahlen a, b, c gelöst werden kann.
Ja, das war ein berühmtes, von Fermat aufgeworfenes Problem.
> Diese Frage führt zu einer in der Geschichte der Mathematik
> höchst bemerkenswerten Entwicklung:
>
> Fermat hat viele wichtige zahlentheoretische Entdeckungen
> in Randbemerkungen in seinem Exemplar des Werkes von
> Diophantur, dem großen Zahlentheoretiker der Antike,
> niedergelegtl Er hat dort viele Sätze ausgesprochen, ohne
> sich mit deren Beweis aufzuhalten, und diese Sätze sind
> alle später bewiesen worden, mit einer wichtigen
> Ausnahme. Bei seinen Anmerkungen zu den pythagoreischen
> Zahlen schrieb Fermat, dass die Gleichung [mm]a^n+b^n[/mm] = [mm]c^n[/mm]
> nicht in ganzen Zahlen lösbar sei, sobald n eine ganze Zahl
> > 2 ist; aber der elegante Beweis, den er hierfür gefunden
> habe, sei leider zu lang für den Rand, auf den er
> schreibe.
>
> Diese allgemeine Behauptung Fermats konnte bisher weder
> widerlegt noch bewiesen werden, obwohl sich viele der
> größten Mathematiker darum bemüht haben.
Mittlerweile konnte es bewiesen werden, von Andrew Wiles (siehe z.B. das Buch von Simon Singh: populärwissenschaftliches, aber sehr interessantes Buch, falls es dich interessiert).
> Der Satz ist
> allerdings für viele spezielle Werte von n bewiesen
> worden, insbesondere für alle < 619, aber nicht für alle n,
> obgleich niemals ein Gegenbeispiel geliefert worden ist.
> Wenn der Satz selbst auch mathematisch kein überwältigendes
> Interesse bieten mag, so haben Versuche, ihn zu beweisen,
> doch manche bedeutende zahlentheoretische Untersuchung
> veranlaßt.
>
> Das Problem hat auch in nichtmathematischen Kreisen viel
> Aufsehen erregt, zum Teil wegen eines Preises von 100.000
> Mark, der für denjenigen ausgesetz wurde, der die erste
> Lösung des Problems liefern würde. Der Preis wurde von der
> Göttinger Akademie der Wissenschaften verwaltet, und bis
> zu seiner Entwertung durch die Inflation wurde jedes Jahr
> eine große Anzahl unrichtiiger Lösungen den Treuhändern
> eingesandt.
>
> Selbst ernstzunehmende Mathematiker täuschten sich zuweilen
> und übesandten oder veröffentlichten Beweise, die
> zusmmenbrachen, nachdem irgendein oberflächlicher Fehler
> entdeckt worden war. Das allgemeine Interesse scheint seit
> der Geldentwertung etwas nachgelassen zu haben; doch von
> Zeit zu Zeit findet sich noch immer die sensationelle
> Mitteilung in der Presse, dass das Problem von einem bis
> dato unbekannten Genie gelöst worden sei.
>
> Zitat Ende!
Die Sachverhalte sind also überholt in dem (ansonsten sehr schönen, ich kenne es gut!) Buch. Trotzdem Danke für deine Mühe. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mi 21.07.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo stefan, hallo Josef!
zunächst vielen Dank, dass Ihr Euch für mein Problem etwas Zeit genommen habt!
@Josef
Danke für den Buchauszug! Hier wird ja auf den großen Fermatschen Satz eingegangen, der zur Zeit der Drucklegung des Buches offensichtlich noch nicht bewiesen war. Wie stefan hier in diesem Diskussionsstrang schon richtig angemerkt hat, wurde der große Fermatsche Satz vom brit. Mathematiker Andrew Wiles im Jahr 1993 (?) bewiesen und durch Simon Singh's Buch erst so richtig der Allgemeinheit bekannt gemacht.
Mein Problem habe ich ja ganz zu Beginn (hoffentlich) ausführlich formuliert. Da es - lt. Wiles - kein Zahlentripel geben kann, welches beispielsweise die Gleichung
[mm] a^3 + b^3 = c^3 \qquad\quad\left\{ a, b, c \right\} \in\IN [/mm]
erfüllt, gibt es hingegen eine Lösung für
[mm] a^3 + b^3 + c^3 = d^3 \quad\left\{ a, b, c, d \right\} \in\IN [/mm]
und diese lautet
[mm] 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 [/mm]
Meine Frage geht darauf hinaus, ob es immer möglich ist, dass sich - wie gezeigt - ein Kubus in drei Kuben, ein Biquadrat in vier Biquadrate oder meinetwegen eine Zahl 12. Potenz sich in eine Summe von 12 Zahlen zerlegen lässt, die ihrerseits in der 12. Potenz dargestellt sind usw. (s. Ursprungsfrage am Anfang des Diskussionsstrangs)
Ich weiß nicht, ob es ein triviales Problem ist. Wie ich schließlich von stefan erfahren habe, ist das alles ein "heißes Eisen" und Teil der arithmetischen Geometrie.
Wie dem auch sei, da der aktuelle Fälligkeitsstatus dieser Frage jetzt auf irrelevant steht, ist es natürlich der MatheRaum-Gemeinde überlassen, ob sie sich dieser Sache weiterhin annimmt (Achtung: kein Wettbewerb!).
@stefan
Ich glaube Andrew Wiles hat für seinen schönen Beweis leider keine Fields-Medaille erhalten, da er zu diesem Zeitpunkt seiner Entdeckung schon über 40 Jahre alt war (?).
Trotzdem bedanke ich mich für Eure Antworten und Eure große Hilfsbereitschaft!![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Gruß
leaven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven!
> @stefan
> Ich glaube Andrew Wiles hat für seinen schönen Beweis
> leider keine Fields-Medaille erhalten, da er zu diesem
> Zeitpunkt seiner Entdeckung schon über 40 Jahre alt war
> (?).
Ja, stimmt natürlich, sorry.
Liebe Grüße
Stefan
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
, dass ich hier ein so "heißes Eisen" angesprochen habe. Zu diesem Problem bin ich eigentlich rein beiläufig gestoßen. Ich kenne Fermats Letzten Satz und das fast schon berühmte Buch von Simon Singh zu diesem Thema. Dabei kam es mir irgendwie in den Sinn, ob sich dieser Satz in leicht abgewandelter Form erweitern ließe... Dass ich hierbei in das Gebiet der arithmetischen Geometrie vorgedrungen bin, war mir nicht klar.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
