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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 20.11.2016 | | Autor: | Loki99 |
| Aufgabe | Sei V der reelle Vektorraum R³. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Erzeugendensysteme von V und welche sind linear unabhängig?
(Begründung nicht vergessen)
c) A={(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1)} |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Teilmenge-von-V-ist-ein-Erzeugendensystem-von-V]
Wir haben weder Matrizen, noch irgendwelche Ränge oder dergleichen behandelt.
Mein Ansatz ist so: die lineare Hülle von A ist <A>={(1,1,1)*µ1+(1,2,3)*µ2+(3,2,1)*µ3}
und es muss gelten: R³=<A>
Ich habe nun Vektoren aus R³ genommmen, mit denen ich alle Vektoren aus R³ bilden kann (das wären dann v1=(1,0,0),v2=(0,1,0) und v3=(0,0,1)) und habe diese gleich der linearen Hülle gesetzt:
1. µ1+ µ2+3µ3=1
2. µ1+2µ2+2µ3=1
3. µ1+3µ2+ µ3=1
Nach dem Auflösen des Gleichungssystems bekomme ich 1-4µ2+2µ2+2µ2=1 raus und das ist ja 1=1
folgt dann daraus, dass A kein Erzeugendensystem von R³ ist?
und kann ich das damit begründen?
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> Sei V der reelle Vektorraum R³. Welche der folgenden
> Teilmengen von V sind Erzeugendensysteme von V und welche
> sind linear unabhängig?
> (Begründung nicht vergessen)
>
> c) A={(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1)}
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Mein Ansatz ist so: die lineare Hülle von A ist
> <A>={(1,1,1)*µ1+(1,2,3)*µ2+(3,2,1)*µ3| [mm] \mu_1,\mu_2,\mu_3\in\IR}
[/mm]
> und es muss gelten: R³=<A>
Ja.
>
> Ich habe nun Vektoren aus R³ genommmen, mit denen ich alle
> Vektoren aus R³ bilden kann (das wären dann
> v1=(1,0,0),v2=(0,1,0) und v3=(0,0,1))
So kann man das machen.
Du hast eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gewählt, und nun prüfst Du, ob Du jeden Basisvektor als Linearkombination der gegebenen drei Vektoren schreiben kannst.
Prüfst Du, ob [mm] v_1 [/mm] eine Linearkombination Deiner Vektoren ist, so erhältst Du
(1,1,1)*µ1+(1,2,3)*µ2+(3,2,1)*µ3=(1,0,0),
hieraus das lineare Gleichungsystem
1. µ1+ µ2+3µ3=1
2. µ1+2µ2+2µ3=0
3. µ1+3µ2+ µ3=0.
Auf diese Art mußt Du bei den beiden anderen Vektoren auch prüfen, ob sie in der linearen Hülle liegen.
Zwei Alternativen:
A.
Du schaust, ob Du für beliebige [mm] a,b,c\in\IR [/mm] passende [mm] \mu_i [/mm] findest, so daß
(1,1,1)*µ1+(1,2,3)*µ2+(3,2,1)*µ3=(a,b,c).
(Die [mm] \mu_i [/mm] hängen dabei natürlich von den a,b,c ab.)
B.
Falls die Begriffe Basis, Dimension, lineare Unabängigkeit dran waren, prüfst Du,
ob die drei gegebenen Vektoren linear unabhängig sind.
Zusammen mit dem Wissen, daß [mm] Dim\IR^3=3 [/mm] hast Du dann, daß sie eine Basis bilden, also auch ein Erzeugendensystem sind.
> und habe diese gleich
> der linearen Hülle gesetzt:
>
> 1. µ1+ µ2+3µ3=1
> 2. µ1+2µ2+2µ3=1
> 3. µ1+3µ2+ µ3=1
Hier prüfst Du lediglich, ob (1,1,1) in der linearen Hülle liegt. Das weißt Du aber sowieso!
(Wenn Du zum Lösen des LGS noch etwas wissen möchtest, poste die komplette Rechnung.)
LG Angela
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