Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 25.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
| Aufgabe | Sei f:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V, W und sei S ein Erzeugendensystem von V. Zeigen sie die folgende Aussage:
Die Menge f (S) ist ein Erzeugendensystem von Im f |
Währe das eine richtige Lösung?????
Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine Funktion und S eine Teilmenge von V. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Bild von S unter f
f (S):= { f(x) / x [mm] \in [/mm] S}
Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:
im f:= f(S)
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> Sei f:V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen
> V, W und sei S ein Erzeugendensystem von V. Zeigen sie die
> folgende Aussage:
> Die Menge f (S) ist ein Erzeugendensystem von Im f
> Wäre das eine richtige Lösung?????
Guten Abend,
nein, eine Lösung ist das nicht.
>
> Sei f: V [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W eine Funktion und S eine Teilmenge von V.
> Dann bezeichnet man folgende Menge als das Bild von S unter
> f
> f (S):= { f(x) / x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S}
Das stimmt.
> Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge
> unter f, also:
> im f:= f(S)
Wie kommst Du darauf? V ist doch u.U. viel "größer" als das Erzeugendensystem S.
Von daher ist i.a. nicht zu erwarten, daß im f:=f(V) = f(S) .
Das ist aber auch nicht zu zeigen. Zu zeigen ist im f=<f(S)>.
Ein Tip zum Beweis:
S ist ein Erzeugendensystem von V. Also läßt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination von Elementen von S schreiben. Weiter ist f eine lineare Abbildung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 25.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
Danke erstmals für deine Hilfe, ich glaub das ich bald alles hin schmeiße.
Na gut mein Vorschlag, aber nur ein Ansatz da es sonst zu viel wird.
Ich zeige, dass Sunter der Addition und der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Zunächst enthält S wegen 0=0 [mm] v_{1} [/mm] + 0 [mm] v_{r} [/mm] mindestens den Nullvektor 0. Zwei Elemente u und v von S lassen sich darstellen als
[mm] u=c_{1} v_{1}+....+ c_{r} v_{r} [/mm]
und
...............
für jeden Skalar k, folglich liegen u+v und ku als Linearkombinationen von
[mm] v_{1} ......v_{r} [/mm] in S.
dann muss ich noch beweisen das S der kleinste Unterraum von V, der
[mm] v_{1}.......v_{r} [/mm] enthält.
ist es das was du gemeint hast
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>
> ist es das was du gemeint hast
>
Nein.
Wenn S ein Erzeugendensystem von V ist, kann man doch jedes [mm] v\in [/mm] V schreiben als [mm] v=\summe a_is_i [/mm] mit [mm] s_i \in [/mm] S.
x [mm] \in [/mm] f(V) sagt, es gibt ein [mm] v=\summe a_is_i [/mm] mit [mm] x=f(v)=f(\summe a_is_i) [/mm] .
Nun ist f linear, also ...
(danach noch die umgekehrte Richtung : v [mm] \in [/mm] f(S) ==>...)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 25.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
f ist linear:
Lineare Abb. bilden Linearkombinationen von Vektoren in V ab auf Linearkombinationen der Bildvektoren
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> f ist linear:
> Lineare Abb. bilden Linearkombinationen von Vektoren in V
> ab auf Linearkombinationen der Bildvektoren
Ja.
Und was bedeutet das konkret für [mm] x=f(v)=f(\summe a_is_i) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 So 26.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
Gute frage und wie kann ich das jetzt konkret ausdrücken, denn das is das Problem
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den ersten schritt find ich ja logisch, aber wie kommst du bei deiner umkehrung auf:
v [mm] \in [/mm] f(s) des kann doch net gehen,oder raff ichs grad net
S ist doch erzeugendensystem von V und somit kann ja nicht v [mm] \in [/mm] f(S) sein
x [mm] \in [/mm] f(S) würde für mich richtig klingen
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> v [mm]\in[/mm] f(s) des kann doch net gehen,oder raff ichs grad
> net
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Hallo,
wieso sol er nicht v heißen? (Ich gebe zu, "v" ist keine didaktische Meisterleistung... Es wäre natürlich nicht das v aus der "Hinrichtung")
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> x [mm]\in[/mm] f(S) würde für mich richtig klingen
Dann nenn ihn so. Oder [mm] \overrightarrow{Türklinke}. [/mm] Es ist egal.
Gruß v. Angela
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