Erzeugendensystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 29.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Welche der drei n-Tupel von Paaren rationaler Zahlen sind Erzeugendensysteme des Vektorraums [mm] \IQ²?
[/mm]
((0,3),(1,1),(4,2))
((1,-2),(1,1))
((2,4),(0,0),(-5,-10),(3,6))
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wie erkenne ich ob es sich um ein EZS handelt???
okay beim dritten ist es kein EZS, das kann ich auch erklären, das zweite und erste denke ich sind EZS, aber ich weiß nicht wie ich das zeige!
danke
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:53 Mi 29.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt
bei der zweiten heruasgefunden
[mm] 1/3\vektor{1\\ -2} [/mm] + [mm] 2/3\vektor{1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 0}
[/mm]
aber wie komme ich bei der ersten drauf, da sehe ich so auf anhieb keine lösung
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
kann mir bitte jemand helfen, oder einen tipp geben
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
der [mm] $\IQ^2$ [/mm] ist der Vektorraum aller Zahlenpaare $(x,y)$, wobei [mm] $x,y\in\IQ$.
[/mm]
Jetzt musst du gucken, ob du mit deinen n-tupeln den Vektorraum aufspannen kannst. Du musst also gucken, ob du durch geeignete Linearkombinationen der Vektoren alle "Zahlenpaare" des [mm] $\IQ^2$ [/mm] beschreiben kannst.
Du kannst dir auch einfach angucken, wie viele linear unabhängige Vektoren in deinem n-Tupel ist. Da die Dimension des [mm] $\IQ^2$ [/mm] gleich 2 ist, musst du zwei linear unabhängige Vektoren haben, damit du den Raum aufspannen kannst.
Stell dir den [mm] $\IQ^2$ [/mm] dann einfach als Ebene dar. Sobald du also zwei Vektoren hast, die nicht auf einer Geraden liegen (also dann ind einem Fall nicht linear abhängig sind), kannst du durch Linearkombination der beiden Vektoren jeden Punkt der eben beschreiben. Liegen aber alle Vektoren auf einer Geraden, dann kannst du eben nur Punkte auf deiner Geraden beschreiben, und dann hast du eben kein EZS.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mi 29.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja
graphisch dürfen wir es nicht lösen wie rechnet man das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du könntest die Vektoren in eine Matrix schreiben, und gucken, wie viele Pivot-Elemente man hat. Die Spalten mit einem Pivot-ELement sind dann deine Basisvektoren. Wenn du dann nur ein Pivot-Element hast, dann weist du, dass die Dimension 1 ist, d.h. es kann sich ja schonmal nicht um den [mm] $\IQ^2$ [/mm] handeln.
Anderenfalls schreib doch mal das Gleichungssystem so hin als Linearkombination deiner Vektoren des n-tupels. Dann schreibst du hin, dass das ein beliebiger Vektor [mm] $(x,y)\in\IQ^2$ [/mm] sein soll und guckst, ob du geeigenete Koeffizeiten findest.
Also:
[mm] $\Sum_{i=1}^{n} a_i\vec{v}_i\overset{!}{=}(x,y)$
[/mm]
Und dann schaust du, ob du das lösen kannst oder nicht.
PS: Graphisch lösen brauchst dus auch nicht. Du kannst ja gucken, ob die Vektoren auf einer Geraden liegen durch rechnen: Wann liegen zwei Vektoren auf einer Geraden? Wenn sie .... voneinander sind?!
LG
Kroni
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also in dem sinn in dem wir pivots gelernt haben haben die alle keinen pivot
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Do 30.10.2008 | | Autor: | Herk |
Ich glaube du verwechselst jetzt Pivots mit Standardspalten
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