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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier zwei Beispiele zu Erzeugendensystemen, die ich nicht so ganz verstehe.
1) $V = [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] \{ a+b\wurzel{2} | a,b \in \IQ \} \subset \IR$
[/mm]
Dann ist $A = [mm] \{ 1,\wurzel{2} \}$ [/mm] ein Erzeugendensystem [mm] \IQ-Vektorraum.
[/mm]
2) [mm] V=\IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Dann ist $A = [mm] \{ 1,i \}$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] \IC. [/mm] Auch $A = [mm] \{ 1,i,1+i \}$ [/mm] ist Erzeugendensystem von [mm] \IC.
[/mm]
So, hier meine Fragen:
Zu Beispiel 1):
Also das $A = [mm] \{ 1,\wurzel{2} \}$ [/mm] ein Erzeugendensystem ist, verstehe ich glaub ich.
Ich muss ja mit Linearkombinationen der Vektoren aus A alle Elemente des Vektorraums V, also von [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] bilden können.
Linearkombinationen von A sind ja von der Form [mm] $x*1+y*\wurzel{2}=x+y*\wurzel{2}$.
[/mm]
Und wenn ich das jetzt für alle x und y mache, dann erhalte ich doch auf jeden Fall alle Werte aus [mm] \IQ(\wurzel{2}).
[/mm]
Was aber bedeutet jetzt das mit dem [mm] \IQ-Vektorraum?
[/mm]
Und woher kommen x und y? Kommen die aus einem beliebigen Körper K?
Zu Beispiel 2):
Also dass [mm] \IC [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist, bedeutet doch, das die komplexen Zahlen mit der Addition zweier komplexen Zahlen und der Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl einen Vektorraum bilden, richtig?
(Wäre [mm] \IC [/mm] ein [mm] \IC-Vektorraum, [/mm] dann würden die komplexen Zahlen mit der Addition zweier komplexen Zahlen und der Multiplikation zweier komplexen Zahlen einen Vektorraum bilden, richtig?)
Das die Menge A ein Erzeugendensystem ist, versteh ich glaub ich auch.
Ich muss mit Linearkombinationen von Vektoren in A alle komplexen Zahlen bilden können (weil die komplexen Zahlen ja der Vektorraum sind).
Und das kann ich ja mit $A = [mm] \{ 1,i \}$ [/mm] machen, denn Linearkombinationen dieser Menge sind von der Form $a*1 + b*i = a+bi$.
Und wenn ich das jetzt für alle a und b mache, erhalte ich mit Sicherheit wieder alle komplexen Zahlen.
Aber auch hier verstehe ich nicht, aus welchem Körper a und b kommen, und wofür ich einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] brauche.
Hängt das irgendwie zusammen?
Und warum ist $A = [mm] \{ 1,i,1+i \}$ [/mm] auch ein Erzeugendensystem?
Bzw. was bringt mir das, ich würde den Koeffizienten vor $1+i$ doch eh immer auf 0 setzen, wenn ich weiß, dass $A = [mm] \{ 1,i \}$ [/mm] schon ein Erzeugendensystem ist?
LG, Nadine
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> 1) [mm]V = \IQ(\wurzel{2}) = \{ a+b\wurzel{2} | a,b \in \IQ \} \subset \IR[/mm]
>
> Dann ist [mm]A = \{ 1,\wurzel{2} \}[/mm] ein Erzeugendensystem des
> [mm]\IQ-Vektorraumes V.[/mm]
> Zu Beispiel 1):
> Also das [mm]A = \{ 1,\wurzel{2} \}[/mm] ein Erzeugendensystem ist,
> verstehe ich glaub ich.
> Ich muss ja mit Linearkombinationen der Vektoren aus A
> alle Elemente des Vektorraums V, also von [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm]
> bilden können.
Ja.
> Linearkombinationen von A sind ja von der Form
> [mm]x*1+y*\wurzel{2}=x+y*\wurzel{2}[/mm].
Ja.
> Und wenn ich das jetzt für alle x und y mache, dann
> erhalte ich doch auf jeden Fall alle Werte aus
> [mm]\IQ(\wurzel{2}).[/mm]
> Was aber bedeutet jetzt das mit dem [mm]\IQ-Vektorraum?[/mm]
V ist ein [mm] \IQ-VR. [/mm]
Das bedeutet: der Körper, der hier verwendet wird ist [mm] \IQ.
[/mm]
> Und woher kommen x und y? Kommen die aus einem beliebigen
> Körper K?
Nein, die kommen aus dem Körper, über welchem man den VR betrachtet, hier also aus [mm] \IQ.
[/mm]
>
> 2) [mm]V=\IC[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Dann ist [mm]A = \{ 1,i \}[/mm] ein
> Erzeugendensystem von [mm]\IC.[/mm] Auch [mm]A = \{ 1,i,1+i \}[/mm] ist
> Erzeugendensystem von [mm]\IC.[/mm]
>
>
> Zu Beispiel 2):
> Also dass [mm]\IC[/mm] ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist, bedeutet doch, das
> die komplexen Zahlen mit der Addition zweier komplexen
> Zahlen und der Multiplikation einer komplexen Zahl mit
> einer reellen Zahl einen Vektorraum bilden, richtig?
Ja.
> (Wäre [mm]\IC[/mm] ein [mm]\IC-Vektorraum,[/mm] dann würden die komplexen
> Zahlen mit der Addition zweier komplexen Zahlen und der
> Multiplikation zweier komplexen Zahlen einen Vektorraum
> bilden, richtig?)
Ja.
> Das die Menge A ein Erzeugendensystem ist, versteh ich
> glaub ich auch.
Gut.
> Ich muss mit Linearkombinationen von Vektoren in A alle
> komplexen Zahlen bilden können (weil die komplexen Zahlen
> ja der Vektorraum sind).
> Und das kann ich ja mit [mm]A = \{ 1,i \}[/mm] machen, denn
> Linearkombinationen dieser Menge sind von der Form [mm]a*1 + b*i = a+bi[/mm].
>
> Und wenn ich das jetzt für alle a und b mache, erhalte ich
> mit Sicherheit wieder alle komplexen Zahlen.
Ja, für [mm] a,b\in \IR. [/mm]
> Aber auch hier verstehe ich nicht, aus welchem Körper a
> und b kommen, und wofür ich einen [mm]\IR-Vektorraum[/mm] brauche.
> Hängt das irgendwie zusammen?
Im [mm] \IR-VR [/mm] wird mit reellen Zahlen multipliziert, und deshalb sind a,b hier aus [mm] \IR.
[/mm]
> Und warum ist [mm]A = \{ 1,i,1+i \}[/mm] auch ein
> Erzeugendensystem?
Weil Du auch damit jede komplexe Zahl als Linearkombination darstellen kannst.
Z.B. ist 3+4i= 5*1 + 6*i -2*(1+i), aber auch andere Linearkombinationen gibt es, die 3+4i ergeben.
> Bzw. was bringt mir das, ich würde den Koeffizienten vor
> [mm]1+i[/mm] doch eh immer auf 0 setzen, wenn ich weiß, dass [mm]A = \{ 1,i \}[/mm]
> schon ein Erzeugendensystem ist?
Klar kannst Du das machen - aber trotzdem ist es ein Erzeugendensystem. Es muß Dir doch nichts bringen, außer die Gewißheit, daß Du jeden Vektor damit darstellen kannst.
A ist übrigens sogar eine Basis - die überflüssigen Vektoren des Erzeugendensystems fehlen hier. A ist ein minimales Erzeugendensystem, [mm] B:=\{i, 1+i\} [/mm] übrigens auch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Danke, Angela, für deine Hilfe 
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