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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 18.08.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Ist das System S von Vektoren im reellen Vektorraum V linear unabhängig, ein Erzeugendensystem und/oder eine Basis?
[mm] V=\IR^{3}, [/mm] S={(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)} |
Hallo an alle,
ich habe sowohl bei der Definition, als auch der Bestimmung der drei Begriffe gewisse Schwierigkeiten und hoffe anhand der Aufgabe all dem etwas näher zu kommen.
Zur linearen Unabhängigkeit:
Ich habe die drei Vektoren als Matrix dargestellt und versucht diese in ZSF zu bringen. Ist es richtig, dass wenn die Matrix in ZSF zu bringen ist, dass das System dann linear abhängig ist?
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Somit würde ich sagen dass S l.a. ist!???
Zum Erzeugendensystem:
Ich weiß dass sich in einem Erzeugendensystem jedes Elemenet aus V als Linearkombination darstellen lässt, jedoch kann ich mir ein Erzeugendensystem noch nicht wirklich vorstellen.
Jetzt weiß ich auch noch nicht richtig, wie ich die drei gegebenen Vektoren als Linearkombination teste. Ich kann beispielsweise berechnen, ob [mm] v_{1} [/mm] eine Linearkombination aus [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] ist, aber das ist damit nicht direkt gemeint, oder?
Muss ich vielleicht einen Vektor finden, für den [mm] v_{1},v_{2}, v_{3} [/mm] eine Linearkombination ist? Und wenn dieser existiert dann ist S auch ein Erzeugendensystem?
Zur Basis:
Ich weiß dass eine Basis sowohl immer linear unabhängig, als auch ein Erzeugendensystem ist, somit muss ich bei diesem Punkt ja nichts direktes mehr errechnen.
Wie sähe jedoch ein andere (Rechen)weg aus, um zu testen, ob S eine Basis ist?
Vielen Dank für die Hilfe im Voraus,
viele Grüße Paula
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> Ist das System S von Vektoren im reellen Vektorraum V
> linear unabhängig, ein Erzeugendensystem und/oder eine
> Basis?
>
> [mm]V=\IR^{3},[/mm] S={(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)}
> Hallo an alle,
> ich habe sowohl bei der Definition, als auch der
> Bestimmung der drei Begriffe gewisse Schwierigkeiten und
> hoffe anhand der Aufgabe all dem etwas näher zu kommen.
>
> Zur linearen Unabhängigkeit:
> Ich habe die drei Vektoren als Matrix dargestellt und
> versucht diese in ZSF zu bringen. Ist es richtig, dass wenn
> die Matrix in ZSF zu bringen ist, dass das System dann
> linear abhängig ist?
genau falschrum^^
Kann man das ganze in ZSF bringen sind die Vektoren linear unabhängig.
Erhälst du mit Gauß eine oder mehrere Nullzeilen so sind sie linear abhängig.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Somit würde ich sagen dass S l.a. ist!???
siehe oben, S ist also linear UNabhängig.
>
> Zum Erzeugendensystem:
> Ich weiß dass sich in einem Erzeugendensystem jedes
> Elemenet aus V als Linearkombination darstellen lässt,
> jedoch kann ich mir ein Erzeugendensystem noch nicht
> wirklich vorstellen.
>
> Jetzt weiß ich auch noch nicht richtig, wie ich die drei
> gegebenen Vektoren als Linearkombination teste. Ich kann
> beispielsweise berechnen, ob [mm]v_{1}[/mm] eine Linearkombination
> aus [mm]v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] ist, aber das ist damit nicht direkt
> gemeint, oder?
> Muss ich vielleicht einen Vektor finden, für den
> [mm]v_{1},v_{2}, v_{3}[/mm] eine Linearkombination ist? Und wenn
> dieser existiert dann ist S auch ein Erzeugendensystem?
Sei $v [mm] \in \IR^3$.
[/mm]
Dann existeren $a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm] mit:
$v = [mm] a*\vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] c*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
Das musst du für alle $v [mm] \in \IR^3$ [/mm] zeigen, damit S ein Erzeugendensystem ist (oder du findest ein Gegenbeispiel, dann ist es keins).
Da es sich hier um Vektorräume handelt reicht es die Berechnung für eine bekannte Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] anzustellen, also du könntest zB nachrechnen, dass die 3 Standardbasisvektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] sich als Linearkombination aus den Vektoren in S darstellen lassen.
> Zur Basis:
> Ich weiß dass eine Basis sowohl immer linear unabhängig,
> als auch ein Erzeugendensystem ist, somit muss ich bei
> diesem Punkt ja nichts direktes mehr errechnen.
> Wie sähe jedoch ein andere (Rechen)weg aus, um zu testen,
> ob S eine Basis ist?
Wie du richtig gesagt hast ist nichts mehr zu rechnen wenn du Erzeugendensystem und linear unabhängig nachgewiesen hast.
Ein anderer Weg, der auch oben bei der Frage nach dem Erzeugendensystem hilft, ist die Dimension.
Bekanntermaßen ist [mm] $dim(\IR^3) [/mm] = 3$ und somit besteht jede Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] aus genau 3 Elementen.
Nun hast du im ersten Teil aber bereits gezeigt, dass die drei Vektoren in S linear unabhängig sind und da es sich eben um drei Stück handelt sind die damit auch gleich eine Basis.
Das heißt mit der Dimension kannst du dir sowohl die Berechnung für die Basis als auch die fürs Erzeugendensystem sparen.
(Achtung: Das geht nur bei Vektorräumen so, bei Moduln nicht zwangsläufig)
> Vielen Dank für die Hilfe im Voraus,
> viele Grüße Paula
MfG
Schadowmaster
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