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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 25.11.2012 | | Autor: | marcye |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum der Polynome [mm] R_{\le1}[x] [/mm] und darin die Vektoren (Polynome):
3x+6
2x
0
5x
-3x-6
-4x
Wählen Sie aus der Liste der Polynome drei Polynome so aus, dass diese ein Erzeugendensystem des Vektorraums [mm] R_{\le1}[x] [/mm] der Polynome vom Grad höchstens gleich eins sind. |
Ich habe vorher andere Aufgaben gemacht bei denen es um den Vektorraum [mm] R_{\le2}[x] [/mm] ging. Diese habe ich gelöst indem ich 3 linear unabhängige Vektoren gewählt habe, die eine Basis bilden, also auch ein Erzeugendensystem sind.
In diesem Fall gibt es meiner Meinung nach aber nur 2 linear unabhängige Vektoren. Reicht es, da es diesmal um den Vektorraum [mm] R_{\le1}[x] [/mm] geht, nur 2 linear unabhängige Vektoren zu finden und einfach einen beliebigen dritten hinzuzufügen?
Also z.B
-3x-5
-4x
0
Wäre diese Antwort korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du musst ja eigentlich nur gucken, ob diese wirklich ein EZS bilden.
Ein Polynom in [mm] $R_{\leq 1} \left[X\right]$ [/mm] sieht ja allgemein so aus: $ax +b$ mit $a,b [mm] \in [/mm] R$. $R$ meint die reellen Zahlen!?! (Soll ja ein VR sein).
Jetzt musst du gucken, ob du dies Polynom in den Erzeugenden schreiben kannst, d.h. gilt
$a + bx = [mm] \lambda_1 [/mm] (-3X-5) + [mm] \lambda_2 [/mm] (-4X) + [mm] \lambda_3 [/mm] 0$
Durch Koeffizientenverglich solltest du die [mm] $\lambda_i$ [/mm] rauskriegen, was zeigt, dass dies ein EZS ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 25.11.2012 | | Autor: | marcye |
Kannst du mir genauer erklären was du mit Koeffizientenvergleich meinst? Ja es sind die reelen Zahlen gemeint.
Liege ich richtig mit der Annahme dass ich keine 3 linear unabhängigen Vektoren mit den genannten Polynomen bilden kann?
Alle Ansetze die ich bis jetzt gefunden habe zielen darauf ab aus 3 linear unabhängigen Vektoren eine Basis zu bilden, was ja dann auch ein Erzeugendensystem ist. Ich kann bei keinen der Vektoren eine Linearkombination bilden die nur die triviale Lösung hat. So komme ich anscheinend nicht weiter oder?
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[mm] $a+bX=\lambda_1(-3X+5)+\lambda_2(-4X)+\lambda_30$
[/mm]
Rechte Seite ausrechnen
$a+bX= [mm] 5\lambda_1 [/mm] + [mm] (-3\lambda_1-4 \lambda_2)X$.
[/mm]
Wegen Koeffizientenvergleich muss gelten
$a=5 [mm] \lambda_1$
[/mm]
$b= [mm] -3\lambda_1 -4\lambda_2$
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] nach a und b aufloesen, was zeigt, dass dies ein EZS ist.
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