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| Aufgabe | | Werde der Vektorraum V von endlich vielen seiner Elemente erzeugt. Zeigen Sie, dass dann jedes Erzeugendensystem von V ein endliches Teilsystem besitzt, das V erzeugt. |
Es ist mir schon klar, dass diese Aussage richtig ist mein Problem ist bloß das ich nicht weiß was ich in dem Beweis alles zeigen muss. Wobei ich in diesem Beweis den Begriff der Basis noch nicht evrwenden kann, weil er noch nicht intensiv behandelt wurde. Dieser beweis müsste doch mit Hilfe von Familien möglich sein oder nicht?..aber was muss ich denn da alles zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Werde der Vektorraum V von endlich vielen seiner Elemente
> erzeugt. Zeigen Sie, dass dann jedes Erzeugendensystem von
> V ein endliches Teilsystem besitzt, das V erzeugt.
> Es ist mir schon klar, dass diese Aussage richtig ist mein
> Problem ist bloß das ich nicht weiß was ich in dem Beweis
> alles zeigen muss. Wobei ich in diesem Beweis den Begriff
> der Basis noch nicht evrwenden kann, weil er noch nicht
> intensiv behandelt wurde. Dieser beweis müsste doch mit
> Hilfe von Familien möglich sein oder nicht?..aber was muss
> ich denn da alles zeigen?
Es geht doch hier um den Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Erzeugensystemen. Wenn du schon von einem endlichen Erzeugensystem ausgehst, brauchst du nichts zu zeigen. Überlege dir also, warum die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems bedeutet, dass jedes beliebige unendliche Erzeugendensystem von V ein endliches Teilsystem besitzt.
Tipp: versuche, die endlich vielen Vektoren, die V erzeugen, durch dein unendliches Erzeugendensystem darzustellen.
Viele Grüße
Rainer
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Hey danke für die schnelle Antwort. Deine Antwort hat mich glaube ich echt in die richtige Richtung geleitet...Reicht es also zu zeigen, dass sich mithilfe der vektoren eines unendlichen Erzeugendensystems die vektoren eines endliches systemes(das ja laut aufgabe gegeben ist) darstellen lassen???...somit würde ja ein endliches system mit vektoren des unendlichen systemes entstehn und somit wäre doch gezeigt, dass jedes erzeugendensystem ein endliches Teilsystem besitzt oder?
ich hoffe das ist nicht zu kompliziert und theoretisch geworden...nochmals danke für die schnelle antwort
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey danke für die schnelle Antwort. Deine Antwort hat mich
> glaube ich echt in die richtige Richtung geleitet...Reicht
> es also zu zeigen, dass sich mithilfe der vektoren eines
> unendlichen Erzeugendensystems die vektoren eines endliches
> systemes(das ja laut aufgabe gegeben ist) darstellen
> lassen???
Das ist die Voraussetzung, nicht die Folgerung. Du weisst: es gibt ein endliches Erzeugendensystem [mm] $E_1$.
[/mm]
Wenn du nun ein beliebiges (unendliches) Erzeugendensystem [mm] $E_2$ [/mm] nimmst, dann kannst du alle Vektoren des Vektorraums als Linearkombination schreiben, also auch alle (endlich) viele Vektoren von [mm] $E_1$.
[/mm]
>...somit würde ja ein endliches system mit
> vektoren des unendlichen systemes entstehn und somit wäre
> doch gezeigt, dass jedes erzeugendensystem ein endliches
> Teilsystem besitzt oder?
Nicht ganz. Ein Teilsystem bedeutet doch in diesem Fall eine endliche Teilmenge [mm] $E_3$ [/mm] von [mm] $E_2$. [/mm] Es reicht aber zu zeigen, dass du die endlich vielen Vektoren in [mm] $E_1$ [/mm] als Linearkombination der Vektoren einer solchen endlichen Teilmenge darstellen kannst. Also: warum reichen da endlich viele aus?
Viele Grüße
Rainer
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Hey
Wo meinst du reichen endlich viele aus?...Das unendliche System muss ja die Vektoren des endlichen System darstellen können weil es ein erzeugendensystem ist. E2 muss eine endliche Teilmenge sein weil sie ja nur endlich viele Vektoren des unendlichen Sysstems enthält oder wo meiinst du das mit endlich?
Liebe Grüße und danke für die Hilfe
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ist meine Begründung denn richtig oder was muss da rein?
LG
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kann mir bitte jemand helfen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 25.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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