Erzeugendensystem und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 14.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Welche der Teilmengen des [mm] \IR^3 [/mm] bilden ein Erzeugendensystem und welche eine Basis des [mm] \IR^3?
[/mm]
A = { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
B = { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] }
C = { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] } |
Hallo,
meine Lösung ist:
A: Keine Basis
B: Basis
C: Keine Basis
Ein Erzeugendensystem ist doch nur die Darstellung als
[mm] \lambda1*vektor1 [/mm] + [mm] \lambda2*vektor2..., [/mm] oder? Dann sollten ja alle drei Teilmengen Erzeugendensysteme sein.
Für eine Basis müssen die Vektoren linear unabhängig sein:
A:
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 0 0
=> III-II
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 0 0
=>
x + z =0 <=> x = -z
x + y = 0 <=> x = -y
Somit sind die Vektoren aus A linear abhängig, also ist A keine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
B:
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
=> III-II
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
=> II-I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x = 0, y = 0, z = 0, also ist B eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
C:
1 0 0 0 0
1 1 1 0 0
1 0 1 1 0
=> II-III
1 0 0 0 0
0 1 0-1 0
1 0 1 1 0
=> III-I
1 0 0 0 0
0 1 0-1 0
0 0 1 1 0
=>
w = 0
x - z = 0 <=> x = z
y + z = 0 <=> z = -y
Somit sind die Vektoren aus C linear abhängig, und bilden keine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Über eine Korrektur würde ich mich freuen 
Vielen Dank im voraus und liebe Grüße
Elefanti
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> Welche der Teilmengen des [mm]\IR^3[/mm] bilden ein
> Erzeugendensystem und welche eine Basis des [mm]\IR^3?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> A = { [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> B = { [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> C = { [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Hallo,
>
>
> meine Lösung ist:
> A: Keine Basis
> B: Basis
> C: Keine Basis
Hallo,
Deine Lösungen sind richtig zwar richtig, aber in der Begründung unvollständig.
>
> Ein Erzeugendensystem ist doch nur die Darstellung als
> [mm]\lambda1*vektor1[/mm] + [mm]\lambda2*vektor2...,[/mm] oder? Dann sollten
> ja alle drei Teilmengen Erzeugendensysteme sein.
Nein. "Erzeugendensystem von [mm] \IR^3" [/mm] sagt, daß Du mit den gegebenen Vektoren jeden beliebigen Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] durch Linearkombination erzeugen kannst.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Du mußt also über Erzeugendensystem auch noch nachdenken.
Ich weiß nun natürlich nicht, wie weit Eure Fortschritte in der linearen Algebra gediehen sind. Wenn Ihr den Dimensionsbegriff hattet und den wichtigen Satz, daß alle Basen gleichmächtig sind, dann weißt Du, daß jede linear unabhängige Menge von 3 Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] eine Basis sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 14.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Korrektur.
Ich bin jetzt doch ein wenig verwirrt. Habe ich das so richtig verstanden?
- A und B sind Erzeugendensysteme des [mm] \IR^3, [/mm] weil sie aus drei Vektoren bestehen und man mit drei Vektoren immer jeden Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] darstellen kann
- C kann kein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] sein, weil C vier Vektoren enthält. Somit kann C auch keine Basis sein.
Liebe Grüße
Elefanti
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Also lineare Unabhängigkeit ist auf jeden Fall Kriterium für eine Basis. Deshalb ist C keine, denn [mm] v_2+v_4=v_3. [/mm] Ein Erzeugendensystem muß nicht linear unahängig sein, sondern eben nur jeden Vektor erzeugen können. Eine Basis ist deshalb immer ein Erzeugendensystem. Da bei C aber [mm] v_1-v_2-v_4=e_1=\vektor{1\\0\\0}; v_2=e_2=\vektor{0\\1\\0} [/mm] und [mm] v_4=e_3=\vektor{0\\0\\1} [/mm] ist, und [mm] span(e_1,e_2,e_3)=\IR^3 [/mm] ist, handelt es sich immernoch um ein Erzeugendensystem. [mm] {\vektor{0\\0\\1};\vektor{0\\1\\1};\vektor{0\\1\\2};\vektor{0\\3\\1}} [/mm] würde dagegen keine Basis und auch kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sein. Warum nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 14.09.2007 | | Autor: | elefanti |
> Also lineare Unabhängigkeit ist auf jeden Fall Kriterium
> für eine Basis. Deshalb ist C keine, denn [mm]v_2+v_4=v_3.[/mm] Ein
> Erzeugendensystem muß nicht linear unahängig sein, sondern
> eben nur jeden Vektor erzeugen können. Eine Basis ist
> deshalb immer ein Erzeugendensystem. Da bei C aber
> [mm]v_1-v_2-v_4=e_1=\vektor{1\\0\\0}; v_2=e_2=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> und [mm]v_4=e_3=\vektor{0\\0\\1}[/mm] ist, und
> [mm]span(e_1,e_2,e_3)=\IR^3[/mm] ist, handelt es sich immernoch um
> ein Erzeugendensystem.
>
Um also auf Erzeugendensystem zu testen, versucht man die Vektoren durch die Einheitsbasisvektoren darzustellen.
[mm]{\vektor{0\\0\\1};\vektor{0\\1\\1};\vektor{0\\1\\2};\vektor{0\\3\\1}}[/mm]
> würde dagegen keine Basis und auch kein Erzeugendensystem
> des [mm]\IR^3[/mm] sein. Warum nicht?
>
Da die drei Vektoren alle als ersten Eintrag eine 0 haben, lassen sie sich nicht als Einheitsbasisvektoren darstellen. Somit ist es kein Erzeugendensystem.
Wie testet man aber allgemein ob es sich um ein Erzeugendensystem handelt? Denn A ist ja ein Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig (also kann ich mit der Einheitsbasis bei A nichts anfangen).
Liebe Grüße
Elefanti
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A ist kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] den [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] kann durch keine Linearkombination der drei Vekoren dargestellt werden. Deshalb und weil die drei Vektoren nicht linear unabhängig sind (sonst könnte ich nicht [mm] v_2 [/mm] aus [mm] v_1-v_3 [/mm] erzeugen) ist es auch keine Basis, den du brauchst ja 3 lin. unabh. Vektoren, um [mm] \IR^3 [/mm] aufzuspannen.
Kurz:
- nicht genug lin. unabh. Vektoren für entsp. Raum -> keine Basis und kein Erzeugendensystem
- n linear unabh. Vektoren sind Basis und gleichzeitig Erzeugendensystem des n-dimensionalen Raumes
- mehr als n Vektoren (n davon linear unahängig, der Rest kann durch die n erzeugt werden)->keine Basis, aber Erzeugendensystem
Oft ist es besser einen Vektor zu finden der das Gegenteil zeigt, als alle unendlich anderen zu prüfen. 
Bei C hab ich einfach ausgenutzt (um Erzeugendensystem nachzuweisen), dass ich die drei linear unabhängigen Basisvektoren [mm] e_1, e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] erzeugen kann. Und da die eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind kann ich sagen das C ein Erzeugendensystem ist. Ein Erzeugendensystem darf linear abhängig sein.
Die Anzahl der Basisvektoren entspricht der Dimension des aufgespannten Raumes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Fr 14.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für deine vielen Erklärungen, du hast mir sehr weitergeholfen, danke!
Liebe Grüße
Elefanti
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