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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Fr 02.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Welche der folgenden teilmengen bilden Erugeugendensysteme der angegebenen Vektorräume?
[mm] 1)\vektor{1 \\ 0 \\0},{\vektor{0 \\ 1 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\2},\vektor{7 \\ 8 \\9}\} \subseteq \IR^3
[/mm]
[mm] 2)\vektor{1 \\ 1 \\1},\vektor{2 \\ 2 \\1},\vektor{3 \\ 3 \\1} \subseteq \IR^3 [/mm] |
[mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\0}+ \mu \vektor{0 \\ 1 \\0}+ s\vektor{0 \\ 0 \\2}+r\vektor{7 \\ 8 \\9}=\vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
ich wähle r=1
[mm] \lambda=x-7
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = y-8
s=z-9
(x-7) [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}+ [/mm] (y-8) [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0}+ (z-9)\vektor{0 \\ 0 \\2}+\vektor{7 \\ 8 \\9}=\vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
=> Erzeugendensystem
[mm] s*\vektor{1 \\ 1 \\1}+t*\vektor{2 \\ 2 \\1}+u*\vektor{3 \\ 3 \\1}= \vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
s+2t+3u=x
s+2t*3u=y
s+t+u=z
<=> t=y+z-2u
s= -y-2z+u
u= [mm] \frac{z-t+2z+y}{2}
[/mm]
Darf ich auch nun eine Variable vorgeben?
Wie sehe ich den das es kein Erzeugendensystem ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du zeigst dass sie linear abhängig sind,
du findest einen Vektor, den du nicht darstellen kannst z.B (0,1,0)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Das verstehe ich nicht ganz.
$ [mm] 1)\vektor{1 \\ 0 \\0},{\vektor{0 \\ 1 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\2},\vektor{7 \\ 8 \\9}\} \subseteq \IR^3 [/mm] $
Jetzt muss ich nachprüfen ob die vier Vektoren ganz [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen.
1) Darf ich das nicht so wie in meinen ersten Post machen?
Sie müsse ja linear abhängig sein, denn es sind 4 Vektoren im [mm] \IR^3. [/mm] Nur 3 oder weniger können linear unabhängig sein.
> du findest einen Vektor, den du nicht darstellen kannst z.B (0,1,0)
Woher weiß ich welcher das ist? Ausprobieren? Wie ist da genau der Weg??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 03.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Das verstehe ich nicht ganz.
> [mm]1)\vektor{1 \\ 0 \\0},{\vektor{0 \\ 1 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\2},\vektor{7 \\ 8 \\9}\} \subseteq \IR^3[/mm]
>
> Jetzt muss ich nachprüfen ob die vier Vektoren ganz [mm]\IR^3[/mm]
> aufspannen.
> 1) Darf ich das nicht so wie in meinen ersten Post machen?
Doch, hast du korrekt geloest.
>
> Sie müsse ja linear abhängig sein, denn es sind 4
> Vektoren im [mm]\IR^3.[/mm] Nur 3 oder weniger können linear
> unabhängig sein.
>
> > du findest einen Vektor, den du nicht darstellen kannst z.B
> (0,1,0)
> Woher weiß ich welcher das ist? Ausprobieren? Wie ist da
> genau der Weg??
Das sagt leduart doch in Bezug auf b): (1,0,0). Versuche diesen
Vektor mal als Linearkombination darzustellen.
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:35 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Naja weil er a) oben drüber geschrieben hat, hat es mich verwirrt
> Das sagt leduart doch in Bezug auf b): (1,0,0). Versuche diesen
Vektor mal als Linearkombination darzustellen.
Ja aber es muss doch eine andere Methode als ausprobieren geben!
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> Welche der folgenden teilmengen bilden Erugeugendensysteme
> der angegebenen Vektorräume?
> [mm]2)\vektor{1 \\
1 \\
1},\vektor{2 \\
2 \\
1},\vektor{3 \\
3 \\
1} \subseteq \IR^3[/mm]
Hallo,
Du setzt hier ja durchaus richtig an: wenn die drei Vektoren ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sind, kann man jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z}\in \IR^3 [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren schreiben:
> [mm]s*\vektor{1 \\
1 \\
1}+t*\vektor{2 \\
2 \\
1}+u*\vektor{3 \\
3 \\
1}= \vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
>
> s+2t+3u=x
> s+2t+3u=y
> s+t+u=z
Ja.
Dieses GS ist nun zu lösen, dh. s,t,u sind allesamt zu schreiben (ausschließlich) in Abhängigkeit von x,y,z. (Denk' Dir, x,y,z wären irgendwelche Zahlen. Deine Variablen hingegen sind s,t,u.)
Wenn Du Dir nun mal die ersten beiden Zeilen Deines GSs anschaust, siehst Du, daß es nur eine Lösung geben kann für x=y.
Dh: alle Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] bei denen der erste und zweite Eintrag nicht gleich sind, kannst Du nicht darstellen.
Damit ist "Erzeugendensystem" gestorben...
Generell: es geht ja in beiden Aufgaben darum, ob der [mm] \IR^3 [/mm] erzeugt wird.
Erzeugt wird er, wenn beide Mengen eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] enthalten, also drei linear unabhängige Vektoren.
Prüfen kannst Du das sehr bequem, indem Du die Vektoren als Spalten in eine Matrix stellst, diese auf ZSF bringst und den Rang bestimmt.
Rang=3: eine Basis ist in Deiner Menge enthalten.
Rang<3: keine Basis ist enthalten.
Rang>3: kann gar nicht vorkommen.
LG Angela
>
> <=> t=y+z-2u
> s= -y-2z+u
> u= [mm]\frac{z-t+2z+y}{2}[/mm]
> Darf ich auch nun eine Variable vorgeben?
>
> Wie sehe ich den das es kein Erzeugendensystem ist?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ah, okay danke,
Ich hätte da paar aussagen, wo ich mir nicht sicher bin ob das so stimmt:
d.h. Wenn ich nachprüfen möchte ob Vektoren z.B ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^4 [/mm] sind dann überprüfe ich den Rang.
Ist der Rang=4 dann bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem
Rang < 4 dann bilden die Vektoren kein Erugeugendensystem.
vom [mm] \IR^5
[/mm]
Wäre dann bei Rang=5 => Erzeugendensystem
Rang < 5 kein Erzeugendensystem
Und wenn ich z.B habe [mm] \{\vektor{1 \\ x}:x \in \IR\} \subseteq \IR^2
[/mm]
Kann ich sofort ausschließen dass der Vektor ein Erzeugendensystem vom [mm] \IR^2 [/mm] ist, da man schon mindestens 2 vektoren brauch um [mm] \IR^2 [/mm] darzustellen.
Wenn ich nachprüfen möchte ob Vektoren linear unabhängig im [mm] \IR^3 [/mm] sind. Dann forme ich wieder auf ZSF und schaue mir den Rang an.
Ist der Rang=die Anzahl der Spalten so sind die Vektoren linear unabhängig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der frage gehen [mm] \IR^5 [/mm] und [mm] IR^4 [/mm] durcheinande,
mit Rang meinst du den Rang der matrix mit den Vektoren als basis. im [mm] \IR^4 [/mm] muss der 4 In [mm] \IR^5 [/mm] muss er 5 sein damit die Vektoeren ein Erzeugeden System bilden.
$ [mm] \{\vektor{1 \\ x}:x \in \IR\} \subseteq \IR^2 [/mm] $ ist nicht ein Vektor, sondern viele mit x=a und [mm] x=b\ne [/mm] a hast du ein erzeugendensystem, man sieht direkt dass etwa (1,0) und (1,1)lin. unabhängig sind.
Gruss leduart
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