Erzeugendensysteme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:56 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein Unterraum des K-Vektorraums V und X [mm] \subseteq [/mm] V eine Teilmenge.
Wir schreiben v+U:= [u] für die Elemente des Quotientenraums V/U.
Zeigen Sie:
a) ist X ein Erzeugendensystem von V, dann ist [mm] \{v+U | v\in X \} [/mm] ein Erzeugendensystem von V/U
b)
ist [mm] \{v+U | v \in X \} [/mm] ein Erzeugendensystem von V/U und Y [mm] \subseteq [/mm] U ein Erzeugendensystem von U, dann ist X [mm] \cup [/mm] Y ein Erzeugendensystem von V |
Hallo,
würde mich über Ansätze sehr freuen.
ich weiß nicht genau wie ich da vorgehen soll und wie die genaue Schreibweise aussieht :(
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:53 Mi 19.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Aguero und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> würde mich über Ansätze sehr freuen.
> ich weiß nicht genau wie ich da vorgehen soll und wie die
> genaue Schreibweise aussieht :(
Welche Schreibweise ist dir genau unklar?
Zunächst einige Vorüberlegungen, bevor es Sinn macht, sich mit der eigentlichen Aufgabe zu beschäftigen:
Wann heißt bei euch eine Teilmenge X eines Vektorraumes V Erzeugendensystem?
Wie sehen sämtliche Elemente von V/U aus?
Wie sind die Addition und die skalare Multiplikation von V/U definiert?
Für Vektoren [mm] $v,v'\in [/mm] V$ benötigst du für b), wann genau $v+U=v'+U$ in V/U gilt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
> Hallo Aguero und herzlich !
>
>
> > würde mich über Ansätze sehr freuen.
> > ich weiß nicht genau wie ich da vorgehen soll und wie
> die
> > genaue Schreibweise aussieht :(
> Welche Schreibweise ist dir genau unklar?
>
>
> Zunächst einige Vorüberlegungen, bevor es Sinn macht,
> sich mit der eigentlichen Aufgabe zu beschäftigen:
>
> Wann heißt bei euch eine Teilmenge X eines Vektorraumes V
> Erzeugendensystem?
Die Menge [mm] span(v_1,...,v_m):= [/mm] {w | w Linearkombi. von [mm] v_1,...,v_m [/mm] } heißt das Erzeugnis von [mm] (v1,...,v_m)
[/mm]
M [mm] \subset [/mm] V heißt Erzeugendensystem, falls span(M)=V
(jeder Vektor in V lässt sich linear kombinieren aus Elementen von M)
>
> Wie sehen sämtliche Elemente von V/U aus?
Die Verknüpfung auf V/U:= { [v] | v [mm] \in [/mm] V } = V / [mm] \sim
[/mm]
also die Äquivalenzklassen
>
> Wie sind die Addition und die skalare Multiplikation von
> V/U definiert?
[v] + [w] := [v+w]
[mm] \lambda [/mm] [v] = [ [mm] \lambda [/mm] v]
>
> Für Vektoren [mm]v,v'\in V[/mm] benötigst du für b), wann genau
> [mm]v+U=v'+U[/mm] in V/U gilt.
>
>
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Aguero und herzlich !
> >
> >
> > > würde mich über Ansätze sehr freuen.
> > > ich weiß nicht genau wie ich da vorgehen soll und
> wie
> > die
> > > genaue Schreibweise aussieht :(
> > Welche Schreibweise ist dir genau unklar?
> >
> >
> > Zunächst einige Vorüberlegungen, bevor es Sinn macht,
> > sich mit der eigentlichen Aufgabe zu beschäftigen:
> >
> > Wann heißt bei euch eine Teilmenge X eines Vektorraumes V
> > Erzeugendensystem?
>
> Die Menge [mm]span(v_1,...,v_m):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{w | w Linearkombi. von
> [mm]v_1,...,v_m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} heißt das Erzeugnis von [mm](v1,...,v_m)[/mm]
> M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V heißt Erzeugendensystem, falls span(M)=V
> (jeder Vektor in V lässt sich linear kombinieren aus
> Elementen von M)
dazu muß M aber nicht endlich sein !
>
>
> >
> > Wie sehen sämtliche Elemente von V/U aus?
>
> Die Verknüpfung auf V/U:= { [v] | v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V } = V / [mm]\sim[/mm]
> also die Äquivalenzklassen
die sehen so aus: [mm] [v]:=v+U:=\{v+u: u \in U\}
[/mm]
>
> >
> > Wie sind die Addition und die skalare Multiplikation von
> > V/U definiert?
>
> [v] + [w] := [v+w]
>
> [mm]\lambda[/mm] [v] = [ [mm]\lambda[/mm] v]
Ja, und was ist nun Deine Frage ?
FRED
>
> >
> > Für Vektoren [mm]v,v'\in V[/mm] benötigst du für b), wann genau
> > [mm]v+U=v'+U[/mm] in V/U gilt.
> >
> >
> Gruß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
wie ich da richtig rangehe und wie die schreibweise aussehen soll..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Schreibweise dürfte klar sein.
Zu a) Sei [x] [mm] \in [/mm] V/U
Dann ist [mm] x=k_1x_1+...+k_nx_n [/mm] mit Skalaren [mm] k_1,...,k_n [/mm] und [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] X
Es folgt:
[ [mm] x]=k_1[x_1]+...+k_n[x_n]
[/mm]
Damit ist [x] Linearkombination der Element aus $ [mm] \{z+U | z\in X \} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Aguero |
> Die Schreibweise dürfte klar sein.
>
> Zu a) Sei [x] [mm]\in[/mm] V/U
>
> Dann ist [mm]x=k_1x_1+...+k_nx_n[/mm] mit Skalaren [mm]k_1,...,k_n[/mm] und
> [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] X
>
> Es folgt:
>
> [ [mm]x]=k_1[x_1]+...+k_n[x_n][/mm]
>
> Damit ist [x] Linearkombination der Element aus [mm]\{z+U | z\in X \}[/mm]
>
>
Hey, ist das jetzt schon der gesamte Beweis für die Implikation von links auf rechts?
und warum hast du die "klasse" und das element aus U (also z statt x) verändert? Ist das sinnvoll, oder einfach nur so?
irgendwie ist das nicht meine aufgabe,
wie ich bei b vorgehen soll, weiß ich leider auch nicht ..
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Hallo,
zu zeigen:
X Erzeugendensystem von V ==> [mm] {v+U|v\in X} [/mm] Erzeugendensystem von V/U
> > Die Schreibweise dürfte klar sein.
> >
> > Zu a) Sei [x] [mm]\in[/mm] V/U
> >
> > Dann ist [mm]x=k_1x_1+...+k_nx_n[/mm] mit Skalaren [mm]k_1,...,k_n[/mm] und
> > [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] X
> >
> > Es folgt:
> >
> > [ [mm]x]=k_1[x_1]+...+k_n[x_n][/mm]
> >
> > Damit ist [x] Linearkombination der Element aus [mm]\{z+U | z\in X \}[/mm]
>
> >
> >
>
> Hey, ist das jetzt schon der gesamte Beweis für die
> Implikation von links auf rechts?
Ja.
> und warum hast du die "klasse" und das element aus U
???
Spezielle Elemente aus U sind hier doch gar nicht im Rennen?
> (also z statt x) verändert?
???
x ist ein festes Element aus V.
[x]=x+U ist ein festes Element aus V/U.
Fred hat vorgemacht, daß man [x] als Linearkombination von Elementen [mm] [x_i] [/mm] mit [mm] x_i\in [/mm] X schreiben kann,
also als Linearkombination von Elementen [mm] x_i+U [/mm] mit [mm] x_i\in [/mm] X.
Also kann man [x] schreiben als Linearkombination von Elementen aus der Menge, die alle Klassen a+U enthält, für welche [mm] a\in [/mm] X.
> Ist das sinnvoll, oder einfach nur
> so?
Meinst Du, daß Fred 'nen Clown gefrühstückt hat oder daß er Langeweile hat?
Er schreibt das schon, weil er's für sinnvoll hält.
Ich halt's auch für sinnvoll.
>
>
> irgendwie ist das nicht meine aufgabe,
Hm?
Vielleicht wird's noch Deine Aufgabe, wenn Du genauer drüber nachdenkst.
Du hast ein Erzeugendensystem X von V, und wilst nn zeigen, daß [mm] \{a+U|a\in X\} [/mm] ein Erzeugendensystem von V/U ist.
Sind wir uns soweit einig?
Um das zu zeigen, mußt Du zeigen, daß man jedes Element aus V/U als Linearkombination von Elementen aus [mm] \{a+U|a\in X\} [/mm] schreiben kann.
Klar?
Nehmen wir uns also ein beliebiges Element aus V/U her. Dieses kann man schreiben als v+U für ein [mm] v\in [/mm] V.
Klar?
So. Nun verwende, daß X ein Erzeugendensystem von V ist.
Was bedeutet das für v?
Und dann mach weiter!
> wie ich bei b vorgehen soll, weiß ich leider auch nicht ..
Deine überlegungen und Versuche?
Die Aussage hast Du verstanden?
Vielleicht machst Du mal ein konkretes Beispiel, an welchem Du die Aussage prüfst. Ich finde sowas immer wertvoll.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> zu zeigen:
>
> X Erzeugendensystem von V ==> [mm]{v+U|v\in X}[/mm]
> Erzeugendensystem von V/U
>
> > > Die Schreibweise dürfte klar sein.
> > >
> > > Zu a) Sei [x] [mm]\in[/mm] V/U
> > >
> > > Dann ist [mm]x=k_1x_1+...+k_nx_n[/mm] mit Skalaren [mm]k_1,...,k_n[/mm] und
> > > [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] X
> > >
> > > Es folgt:
> > >
> > > [ [mm]x]=k_1[x_1]+...+k_n[x_n][/mm]
> > >
> > > Damit ist [x] Linearkombination der Element aus [mm]\{z+U | z\in X \}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> > Hey, ist das jetzt schon der gesamte Beweis für die
> > Implikation von links auf rechts?
>
> Ja.
>
> > und warum hast du die "klasse" und das element aus U
>
> ???
> Spezielle Elemente aus U sind hier doch gar nicht im
> Rennen?
>
> > (also z statt x) verändert?
>
> ???
>
> x ist ein festes Element aus V.
> [x]=x+U ist ein festes Element aus V/U.
>
> Fred hat vorgemacht, daß man [x] als Linearkombination
> von Elementen [mm][x_i][/mm] mit [mm]x_i\in[/mm] X schreiben kann,
> also als Linearkombination von Elementen [mm]x_i+U[/mm] mit [mm]x_i\in[/mm]
> X.
> Also kann man [x] schreiben als Linearkombination von
> Elementen aus der Menge, die alle Klassen a+U enthält,
> für welche [mm]a\in[/mm] X.
>
> > Ist das sinnvoll, oder einfach nur
> > so?
>
> Meinst Du, daß Fred 'nen Clown gefrühstückt hat oder
> daß er Langeweile hat?
Hallo Angela,
Du hast doch hellseherische Fähigkeiten: das
[mm] http://www.lecker.de/media/recipes/sonstiges/kinderfest_3/watermark_F396702jpg_img_308x0.png
[/mm]
war mein Frühstück heute morgen.
Gruß FRED
> Er schreibt das schon, weil er's für sinnvoll hält.
> Ich halt's auch für sinnvoll.
>
> >
> >
> > irgendwie ist das nicht meine aufgabe,
>
> Hm?
>
> Vielleicht wird's noch Deine Aufgabe, wenn Du genauer
> drüber nachdenkst.
>
> Du hast ein Erzeugendensystem X von V, und wilst nn zeigen,
> daß [mm]\{a+U|a\in X\}[/mm] ein Erzeugendensystem von V/U ist.
> Sind wir uns soweit einig?
>
> Um das zu zeigen, mußt Du zeigen, daß man jedes Element
> aus V/U als Linearkombination von Elementen aus [mm]\{a+U|a\in X\}[/mm]
> schreiben kann.
> Klar?
>
> Nehmen wir uns also ein beliebiges Element aus V/U her.
> Dieses kann man schreiben als v+U für ein [mm]v\in[/mm] V.
> Klar?
>
> So. Nun verwende, daß X ein Erzeugendensystem von V ist.
> Was bedeutet das für v?
>
> Und dann mach weiter!
>
> > wie ich bei b vorgehen soll, weiß ich leider auch nicht ..
>
> Deine überlegungen und Versuche?
> Die Aussage hast Du verstanden?
> Vielleicht machst Du mal ein konkretes Beispiel, an
> welchem Du die Aussage prüfst. Ich finde sowas immer
> wertvoll.
>
> LG Angela
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Die Schreibweise dürfte klar sein.
> >
> > Zu a) Sei [x] [mm]\in[/mm] V/U
> >
> > Dann ist [mm]x=k_1x_1+...+k_nx_n[/mm] mit Skalaren [mm]k_1,...,k_n[/mm] und
> > [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] X
> >
> > Es folgt:
> >
> > [ [mm]x]=k_1[x_1]+...+k_n[x_n][/mm]
> >
> > Damit ist [x] Linearkombination der Element aus [mm]\{z+U | z\in X \}[/mm]
>
> >
> >
>
> Hey, ist das jetzt schon der gesamte Beweis für die
> Implikation von links auf rechts?
> und warum hast du die "klasse" und das element aus U (also
> z statt x) verändert? Ist das sinnvoll, oder einfach nur
> so?
Ich hatte heute einen Clown zum Frühstück.....
>
>
> irgendwie ist das nicht meine aufgabe,
> wie ich bei b vorgehen soll, weiß ich leider auch nicht ..
Wir nehmen ein x [mm] \in [/mm] V. Dann ist [x] [mm] \in [/mm] V/U, also gibt es Skalare [mm] k_1,...,k_n [/mm] und [mm] v_1,...,v_n \in [/mm] X mit
[ [mm] x]=k_1[v_1]+...+k_n[v_n] [/mm] .
Damit ist [mm] x-(k_1v_1+...+k_nv_n) \in [/mm] U.
Die Differenz [mm] x-(k_1v_1+...+k_nv_n) [/mm] lässt sich nun als Linearkombination aus Elementen von Y schreiben.
Jetzt Du.
FRED
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