www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperErzeugnis von M
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Erzeugnis von M
Erzeugnis von M < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Erzeugnis von M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 So 21.11.2010
Autor: MatheStudi7

Aufgabe
Sei [mm] $\emptyset \not= [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] G$ eine nicht-leere Teilmenge der Gruppe $G$.
Zeigen Sie, dass
[mm] $\langle M\rangle [/mm] = [mm] \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}$ [/mm]


Hallo an alle,

ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar.
Wir haben in der Vorlesung dazu Folgendes aufgeschrieben:

Sei I eine Indexmenge, [mm] U_{i} \le [/mm] G für alle i [mm] \in [/mm] I.
[mm] \Rightarrow [/mm] U:= [mm] \bigcap_{i=I} U_{i} [/mm] ist eine Untergruppe von G

Definition
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe.
Sei <M> := [mm] \bigcap_{U \le G mit M \subseteq U} [/mm] U
<M> heißt das Erzeugnis von M.
<M> ist Untergruppe von G

Lemma
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe. Eine Teilmenge V [mm] \subseteq [/mm] G ist das Erzeugnis <M> von M, genau dann, wenn:
(1) V [mm] \le [/mm] G und V enthält G
(2) für alle U [mm] \le [/mm] G mit M [mm] \subseteq [/mm] U ist [mm] V\le [/mm] U


So, jetzt verstehe ich nicht, warum aus [mm] a_{1} *...* a_{n} [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] <M> folgern soll. Warum werden hier irgendwelche Elmente aus M multipliziert?
Ich weiß, dass für a [mm] \in [/mm] (irgendeine Gruppe) folgt, dass [mm] a^{k} [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] folgt. Hat das damit vielleicht was zu tun?

Danke für jegliche Hilfe.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Erzeugnis von M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 22.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]\emptyset \not= M \subseteq G[/mm] eine nicht-leere
> Teilmenge der Gruppe [mm]G[/mm].
>  Zeigen Sie, dass
>  [mm]\langle M\rangle = \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

Hier wird erklärt, wie die Elemente von <M> gemacht sind.

Jedes Element, welches im Erzeugnis von M ist, kann man schreiben als endliches Produkt von Elementen, die in M sind oder deren Inverses in M ist.

Zu zeigen ist hierfür zweierlei:

Ist jedes Element von <M> von dieser Bauart?
Ist jedes Element, welches von dieser Bauart ist, in M?

Wenn ich Dich recht verstehe, ist Dir nicht klar, warum das Element x mit

[mm] x=a_1*a_2*...*a_n [/mm] mit [mm] a_i\in [/mm] M oder [mm] a_i^{-1} \in [/mm] M in <M> liegt.

Nun, Du kannst Dir überlegen, daß mit jedem Element [mm] b\in [/mm] M  sein Inverses [mm] b^{-1} [/mm] in <M> sein muß.
Und sämtliche Produkte müssen drinliegen aufgrund der Abgeschlossenheit.

Ich hoffe, daß ich deine Frage beantwortet habe. Sicher bin ich mir nicht.

Gruß v. Angela








Bezug
                
Bezug
Erzeugnis von M: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mo 22.11.2010
Autor: MatheStudi7

Hallo Angela,

danke für deine Antwort. Ich denke, ich hab jetzt verstanden, wie die Aufgabe gemeint ist.


Ciao

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]