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Erzeugnis von M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 So 21.11.2010
Autor: MatheStudi7

Aufgabe
Sei [mm] $\emptyset \not= [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] G$ eine nicht-leere Teilmenge der Gruppe $G$.
Zeigen Sie, dass
[mm] $\langle M\rangle [/mm] = [mm] \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}$ [/mm]


Hallo an alle,

ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar.
Wir haben in der Vorlesung dazu Folgendes aufgeschrieben:

Sei I eine Indexmenge, [mm] U_{i} \le [/mm] G für alle i [mm] \in [/mm] I.
[mm] \Rightarrow [/mm] U:= [mm] \bigcap_{i=I} U_{i} [/mm] ist eine Untergruppe von G

Definition
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe.
Sei <M> := [mm] \bigcap_{U \le G mit M \subseteq U} [/mm] U
<M> heißt das Erzeugnis von M.
<M> ist Untergruppe von G

Lemma
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe. Eine Teilmenge V [mm] \subseteq [/mm] G ist das Erzeugnis <M> von M, genau dann, wenn:
(1) V [mm] \le [/mm] G und V enthält G
(2) für alle U [mm] \le [/mm] G mit M [mm] \subseteq [/mm] U ist [mm] V\le [/mm] U


So, jetzt verstehe ich nicht, warum aus [mm] a_{1} *...* a_{n} [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] <M> folgern soll. Warum werden hier irgendwelche Elmente aus M multipliziert?
Ich weiß, dass für a [mm] \in [/mm] (irgendeine Gruppe) folgt, dass [mm] a^{k} [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] folgt. Hat das damit vielleicht was zu tun?

Danke für jegliche Hilfe.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Erzeugnis von M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 22.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]\emptyset \not= M \subseteq G[/mm] eine nicht-leere
> Teilmenge der Gruppe [mm]G[/mm].
>  Zeigen Sie, dass
>  [mm]\langle M\rangle = \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

Hier wird erklärt, wie die Elemente von <M> gemacht sind.

Jedes Element, welches im Erzeugnis von M ist, kann man schreiben als endliches Produkt von Elementen, die in M sind oder deren Inverses in M ist.

Zu zeigen ist hierfür zweierlei:

Ist jedes Element von <M> von dieser Bauart?
Ist jedes Element, welches von dieser Bauart ist, in M?

Wenn ich Dich recht verstehe, ist Dir nicht klar, warum das Element x mit

[mm] x=a_1*a_2*...*a_n [/mm] mit [mm] a_i\in [/mm] M oder [mm] a_i^{-1} \in [/mm] M in <M> liegt.

Nun, Du kannst Dir überlegen, daß mit jedem Element [mm] b\in [/mm] M  sein Inverses [mm] b^{-1} [/mm] in <M> sein muß.
Und sämtliche Produkte müssen drinliegen aufgrund der Abgeschlossenheit.

Ich hoffe, daß ich deine Frage beantwortet habe. Sicher bin ich mir nicht.

Gruß v. Angela








Bezug
                
Bezug
Erzeugnis von M: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mo 22.11.2010
Autor: MatheStudi7

Hallo Angela,

danke für deine Antwort. Ich denke, ich hab jetzt verstanden, wie die Aufgabe gemeint ist.


Ciao

Bezug
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