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| Aufgabe | Sei S = σ( [mm] \{[k,\infty) : k\in \IZ\} [/mm] ), d.h. kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Form [mm] [k,\infty) [/mm] für k [mm] \in \IZ [/mm] enthält und S' = σ( [mm] \{[k,\infty) : k\in \IZ\}, \{[\infty,k] : k\in \IZ\} [/mm] )
Zeige: S [mm] \not= [/mm] S' |
Guten Abend!
Meine Frage ist wie ich an so Aufgaben herangehen soll.
Die Aufgabe klang zuerst ziemlich trivial. Wenn die zweite Erzeuger-Menge die erste echt enthält, dann sollte doch die erste σ-Algebra auch in der Zweiten echt enthalten sein.
Jedenfalls hab ich erstmal nach konkreten Mengen gesucht.
Man sieht z.B. das [mm] \IZ [/mm] in S' liegen muss wenn man die Menge [mm] (\infty,k]\cap[k,\infty) [/mm] für jedes k betrachtet und vereint. Und [mm] \IZ [/mm] ist eine Menge von der ich vermute, dass sie nicht in S liegen kann.
Nur wie zeigt man sowas?
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> Sei S = σ( [mm]\{[k,\infty) : k\in \IZ\}[/mm] ), d.h. kleinste
> σ-Algebra, die alle Mengen der Form [mm][k,\infty)[/mm] für k [mm]\in \IZ[/mm]
> enthält und S' = σ( [mm]\{[k,\infty) : k\in \IZ\}, \{[\infty,k] : k\in \IZ\}[/mm]
> )
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> Zeige: S [mm]\not=[/mm] S'
> Guten Abend!
> Meine Frage ist wie ich an so Aufgaben herangehen soll.
> Die Aufgabe klang zuerst ziemlich trivial. Wenn die zweite
> Erzeuger-Menge die erste echt enthält, dann sollte doch
> die erste σ-Algebra auch in der Zweiten echt enthalten
> sein.
> Jedenfalls hab ich erstmal nach konkreten Mengen gesucht.
> Man sieht z.B. das [mm]\IZ[/mm] in S' liegen muss wenn man die
> Menge [mm](\infty,k]\cap[k,\infty)[/mm] für jedes k betrachtet und
> vereint. Und [mm]\IZ[/mm] ist eine Menge von der ich vermute, dass
> sie nicht in S liegen kann.
> Nur wie zeigt man sowas?
Die halboffenen Intervalle [k,k+1) mit [mm] k\in\IZ [/mm] bilden eine Partition P von [mm] \IR.
[/mm]
Jede Menge aus S ist (endliche oder abzählbare) Vereinigung von Mengen aus P.
Dies zeigt man, indem man feststellt, dass die Menge aller Vereinigungen von Elementen aus P tatsächlich eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] bildet, die alle Intervall [mm] [k,\infty) [/mm] enthält.
Damit gehört [mm] \IZ [/mm] nicht zu S (genauso wie alle einelementigen Mengen {k}), aber wie du schon richtig festgestellt hast zu S'.
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