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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] eine [mm] $\tau$-Struktur [/mm] und $M [mm] \subseteq [/mm] A$ eine Teilmenge des Universums. Die von M erzeugte Substruktur von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist die kleinste Substruktur [mm] $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ [/mm] mit $M [mm] \subseteq [/mm] B$.
Betrachten Sie die Boolesche Algebra aller Teilmengen von [mm] $\IN$:
[/mm]
[mm] $BA(\IN) [/mm] = [mm] (\mathcal{P}(\IN), \cup, \cap, \bar{ }, \emptyset, \IN)$.
[/mm]
Welche Substrukturen von [mm] $BA(\IN)$ [/mm] werden von folgenden Teilmengen erzeugt?
(i) Die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Aber jemand anderes: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=46465
Moin!
In oben verlinktem Thread gibt es zwar grundsätzlich schon eine Antwort, diese verstehe ich aber nicht wirklich, bzw. ich weiß nicht, wie ich die dort vorgestellte Lösung im Bezug auf die Co-Endlichen Mengen aufschreiben soll. Ich verstehe auch nicht, warum es falsch ist, wenn ich sage, dass für eine endliche Menge $T [mm] \subseteq \IN$ [/mm] gilt [mm] $\overline{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T$.
Schonmal vielen Dank für Hinweise.
Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 23.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\tau[/mm]-Struktur und [mm]M \subseteq A[/mm] eine
> Teilmenge des Universums. Die von M erzeugte Substruktur
> von [mm]\mathcal{A}[/mm] ist die kleinste Substruktur [mm]\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]M \subseteq B[/mm].
>
> Betrachten Sie die Boolesche Algebra aller Teilmengen von
> [mm]\IN[/mm]:
> [mm]BA(\IN) = (\mathcal{P}(\IN), \cup, \cap, \bar{ }, \emptyset, \IN)[/mm].
>
> Welche Substrukturen von [mm]BA(\IN)[/mm] werden von folgenden
> Teilmengen erzeugt?
> (i) Die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Aber jemand anderes:
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=46465
>
> Moin!
>
> In oben verlinktem Thread gibt es zwar grundsätzlich schon
> eine Antwort, diese verstehe ich aber nicht wirklich, bzw.
> ich weiß nicht, wie ich die dort vorgestellte Lösung im
> Bezug auf die Co-Endlichen Mengen aufschreiben soll.
Ich verstehe Deine Frage nicht (und ich habe keine Lust den Link durchzulesen).
> Ich
> verstehe auch nicht, warum es falsch ist, wenn ich sage,
> dass für eine endliche Menge [mm]T \subseteq \IN[/mm] gilt
> [mm]\overline{T} = \mathcal{P}(\IN) \backslash T[/mm].
Das Komplement von [mm] $T\subseteq \IN$ [/mm] ist [mm] $\IN \backslash [/mm] T$, in Worten: Die Menge aller natuerlichen Zahlen, die nicht in $T$ sind. [mm] $P(\IN) \backslash [/mm] T$ waere die Menge aller TEILMENGEN von [mm] $\IN$, [/mm] die nicht in $T$ liegen. Das ist zwar eine sinnvolle Menge, da aber die Elemente von $T$ natuerliche Zahlen und keine Teilmengen von natuerlichen Zahlen sind, waere einfach [mm] $P(\IN) \backslash [/mm] T= [mm] P(\IN)$.
[/mm]
>
> Schonmal vielen Dank für Hinweise.
>
> Grüße,
> Avinu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 23.09.2012 | | Autor: | Avinu |
Hallo,
Erstmal danke für deine Antwort.
Hmm, ich habe die Frage falsch gestellt. Es geht natürlich entsprechend der Aufgabenstellung um die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$. [/mm] Nennen wir diese Menge jetzt $T$, dann gilt natürlich $T [mm] \subseteq \mathcal{P}(\IN)$. [/mm] Dann müsste nach meinem Verständnis aber eben auch gelten [mm] $\overline{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T $.
Meine Lösung wäre diese, aber die ist falsch:
Die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] ist offensichtlich gegenüber Schnitt und Vereinigung abgeschlossen und enthält die leere Menge.
Damit auch [mm] $\IN \in [/mm] M$ ist muss ich also auf jeden Fall schon mal [mm] $\IN$ [/mm] in das Universum aufnehmen.
Nach oben würde ich dann eben sagen, dass [mm] $\overline{T} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T $.
Dann müsste aber $M = T [mm] \cup \IN \cup \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T$. Da aber [mm] $\IN \subset \mathcal{P}(\IN)$ [/mm] ist wäre demnach $M = T [mm] \cup \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T = [mm] \mathcal{P}(\IN)$
[/mm]
In dem verlinkten Artikel heißt es die Lösung wäre die "Menge aller endlichen und aller koendlichen Teilmengen von N". Es wird aber nur gesagt, dass das Komplement einer endlichen Menge eine Koendliche Menge ist ohne dies genauer zu definieren. Deswegen habe ich Probleme damit das als Lösung formal aufzuschreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Mo 24.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> Erstmal danke für deine Antwort.
>
> Hmm, ich habe die Frage falsch gestellt. Es geht natürlich
> entsprechend der Aufgabenstellung um die Menge aller
> endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm]. Nennen wir diese Menge jetzt
> [mm]T[/mm], dann gilt natürlich [mm]T \subseteq \mathcal{P}(\IN)[/mm]. Dann
> müsste nach meinem Verständnis aber eben auch gelten
> [mm]\overline{T} = \mathcal{P}(\IN) \backslash T [/mm].
Das ist das Komplement von $T$ in [mm] $P(\IN)$; [/mm] das ist NICHT die Menge aller Komplemente von Mengen aus $T$, falls Du das meinst.
>
> Meine Lösung wäre diese, aber die ist falsch:
> Die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] ist
> offensichtlich gegenüber Schnitt und Vereinigung
> abgeschlossen und enthält die leere Menge.
Richtig.
> Damit auch [mm]\IN \in M[/mm] ist muss ich also auf jeden Fall
> schon mal [mm]\IN[/mm] in das Universum aufnehmen.
> Nach oben würde ich dann eben sagen, dass [mm]\overline{T} = \mathcal{P}(\IN) \backslash T [/mm].
>
> Dann müsste aber [mm]M = T \cup \IN \cup \mathcal{P}(\IN) \backslash T[/mm].
Achtung, es muesste $M = T [mm] \cup \{\IN\} \cup \mathcal{P}(\IN) \backslash [/mm] T$ heissen, um [mm] $\IN$ [/mm] in das Universum aufzunehmen.
> Da aber [mm]\IN \subset \mathcal{P}(\IN)[/mm] ist wäre demnach [mm]M = T \cup \mathcal{P}(\IN) \backslash T = \mathcal{P}(\IN)[/mm]
>
Diese Schlussfolgerung ergibt sich in jedem Fall nach Definition des Komplementes - auch ohne [mm] $\IN$. [/mm]
> In dem verlinkten Artikel heißt es die Lösung wäre die
> "Menge aller endlichen und aller koendlichen Teilmengen von
> N". Es wird aber nur gesagt, dass das Komplement einer
> endlichen Menge eine Koendliche Menge ist ohne dies genauer
> zu definieren. Deswegen habe ich Probleme damit das als
> Lösung formal aufzuschreiben.
Ich schaetze, Du meinst das richtige. Ausser den endlichen Mengen benoetigst Du auch alle Komplemente von endlichen Mengen, d.h. [mm] $\IN\backslash [/mm] X$ fuer alle [mm] $X\in [/mm] T$. Komplemente von endlichen Mengen werden koendlich genannt. Nun ist die Menge [mm] $P(\IN)\backslash [/mm] T$ die Menge aller unendlichen (= nicht endlichen) Mengen und nicht die Menge aller Komplemente von endlichen Mengen. Es liegt somit vielleicht nur ein "Schreibfehler" vor.
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