Erzeugtes äußeres Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein beliebiges Mengensystem, das die leere Menge beinhaltet und [mm] $\mu:\varepsilon\to[0,\infty] [/mm] eine Mengenfunktion, das der leeren Menge 0 zuordnet. Dann konstruiert man das äußere Maß wie üblich (also durch [mm] $\inf$ [/mm] von abzählbaren [mm] $\varepsilon$ [/mm] Überdeckungen). Wenn [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein Halbring ist, dann gilt, dass [mm] $\mu^{\*}|_{\varepsilon}=\mu$, [/mm] d.h. das äußere Maß ist eine Fortsetzung von [mm] $\mu$. [/mm] |
Wenn [mm] $\varepsilon$ [/mm] kein Halbring ist, sondern wie ursprünglich nur ein beliebiges Mengensystem, ist dann trotzdem [mm] $\mu^{\*}|_{\varepsilon}=\mu$? [/mm]
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Hiho,
> (also durch [mm]$\inf$[/mm] von abzählbaren [mm]$\varepsilon$[/mm] Überdeckungen).
das mal eben so lapidar hingeschrieben ist gar nicht klar, was du damit meinst.
Ich vermute aber mal:
[mm] $\mu^\*(A) [/mm] = [mm] \inf\left\{\summe_{k=1}^\infty \mu(A_k) | A \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty A_k, A_k \in \varepsilon\right\}$
[/mm]
Sei nun:
[mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \{\IN\} \cup \bigcup_{k\in\IN} \{\{k\}\} [/mm] = [mm] \left\{\IN,\{1\},\{2\},\ldots\right\}$
[/mm]
mit
[mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{falls } A \mbox{ endlich} \\ 1 & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
Vergleiche mal [mm] \mu [/mm] und [mm] $\mu^\*$ [/mm] auf [mm] \varepsilon
[/mm]
Gruß,
Gono
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Ja, ich habe genau diese Definition gemeint, danke! Nun habe ich eine sehr blöde Frage: Beim Beweis, dass das äußere Maß mit dem Maß auf dem Halbring übereinstimmt zeigt man zuerst [mm] $\mu^{\*}(A)\le\mu(A)$ [/mm] für ein $A$ im Halbring. Überall finde ich leider nur, dass das trivial sei. Mir ist klar, dass ich als Überdeckung einfach die Mengen [mm] $A_1=A$ [/mm] und [mm] $A_k=\emptyset$ [/mm] für alle anderen $k$ wählen kann. Mir ist nicht klar wie man das so schnell sehen sollte, dass diese Ungleichung gilt. Kann da vl. jemand die "trivialen" Zwischenschritte aufschreiben? Intuitiv gesehen ist mir eher die andere Richtung klar, da das äußere Maß ja eine Approximation von außen ist.
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Hiho,
> Beim Beweis, dass das äußere Maß mit dem Maß auf dem Halbring übereinstimmt zeigt man zuerst [mm]\mu^{\*}(A)\le\mu(A)[/mm] für ein [mm]A[/mm] im Halbring. Überall finde ich leider nur, dass das trivial sei. Mir ist klar, dass ich als Überdeckung einfach die Mengen [mm]A_1=A[/mm] und [mm]A_k=\emptyset[/mm] für alle anderen [mm]k[/mm] wählen kann.
Dann bist du doch fertig....
> Mir ist nicht klar wie man das so schnell sehen sollte, dass diese Ungleichung gilt.
Ist dir klar, was das [mm] \inf [/mm] vor der Klammer bedeutet?
Du nimmst das Infimum über eine Menge.
Was gilt folglich, wenn du statt der gesamten Menge nur ein Element daraus betrachtest?
Was passiert mit dem [mm] $\inf$, [/mm] wenn man noch Elemente hinzunimmt?
> Intuitiv gesehen ist mir eher die andere Richtung klar, da das äußere Maß ja eine Approximation von außen ist.
Schön, dass dir das klar ist, nur leider liegt deine Intuition da völlig falsch.
Was ist mit meinem Beispiel, hast du dir das überhaupt angeschaut?
Was ist denn [mm] $\mu(\IN)$ [/mm] und was ist [mm] $\mu^\*(\IN)$?
[/mm]
Gruß,
Gono
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> Ist dir klar, was das [mm]\inf[/mm] vor der Klammer bedeutet?
> Du nimmst das Infimum über eine Menge.
Ja, das ist mir klar, aber anscheinend habe ich irgendein Verständnisproblem mit dieser Menge. Ich betrachte doch verschiedene Überdeckungen von A und nehme sozusagen die "kleinste".
> Was gilt folglich, wenn du statt der gesamten Menge nur
> ein Element daraus betrachtest?
Also für alle x in der Menge M muss doch gelten: [mm] $x\ge\inf [/mm] M$.
> Was ist mit meinem Beispiel, hast du dir das überhaupt
> angeschaut?
> Was ist denn [mm]\mu(\IN)[/mm] und was ist [mm]\mu^\*(\IN)[/mm]?
Also da erhalte ich [mm] $\mu(\IN)=1$, [/mm] aber [mm] $\mu^\*(\IN)=0$, [/mm] stimmt das?
Schon mal vielen Dank für deine rasche Hilfe!
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Ok, ist alles klar! Danke nochmal. Habe wie so oft zu "geometrisch" gedacht. Ist natürlich klar, wenn [mm] $y=\inf [/mm] M$ und ich nehme ein spezielles [mm] $x\in [/mm] M$, dass dann natürlich [mm] $y\le [/mm] x$ gelten muss. In der Maßtheorie hat man wohl am besten kein Bild im Kopf. Da ich von außen approximiere, scheint mir geometrisch (zB einen Kreis durch lauter Rechtecke) die Beziehung [mm] $\mu(A)\le\mu^{\*}(A)$ [/mm] eigentlich klar. Im Beweis ist dies jedoch die "schwierigere" Richtung. Aber kann es überhaupt passieren, dass [mm] $\mu^{\*}(A)<\mu(A)$?
[/mm]
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Hiho,
also irgendwie habe ich das Gefühl, du durchdenkst deine Fragen nicht vorher. Du stellst die Frage:
> Aber kann es überhaupt passieren, dass [mm]\mu^{\*}(A)<\mu(A)[/mm]?
Und hast in der vorherigen Frage geschrieben:
> Also da erhalte ich $ [mm] \mu(\IN)=1 [/mm] $, aber $ [mm] \mu^*(\IN)=0 [/mm] $
Welche Beziehung gilt denn zwischen 0 und 1?
Gruß,
Gono
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Sry, war gestern eindeutig ein Tag mit zu viel Mathematik :D Vielen Dank nochmal!
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