Erzeugung von \IR < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Mutter |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist: Sei [mm]X[/mm] die Menge der endlichen Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Dann existiert eine Kette [mm]C\subseteq X[/mm], i.e. für je zwei [mm]A,B\in C[/mm] gilt entweder [mm]A\subseteq B[/mm] oder [mm]B\subseteq A[/mm], so dass [mm]\IR=\bigcup_{A\in C}A[/mm]. |
Ich wollte den Beweis von von Neumann und Morgenstern zur Existenz eines expected utility functionals auf der Menge der simplen Lotterien definiert auf endlichen Mengen auf beliebige Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] insbesondere auf [mm] \IR [/mm] erweitern. Dazu habe ich Zorns Lemma verwendet. Wenn also obige Aussage stimmt, dann ist die Erweiterung bewiesen.
Das müsste mit dem Auswahlaxiom oder etwas ähnlichem doch klappen. Das darf also insbesondere verwendet werden. Mir wäre sehr geholfen, wenn mir jemand sagen würde, ob die Aussage stimmt oder nocht.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Edit: Ich glaube, ich habe die Frage beantwortet: nein! Nimm an, [mm]C[/mm] sei eine solche Kette. Wir betrachten die Teilmenge [mm]C'\subseteq C[/mm], so dass für alle [mm]A,B\in C'[/mm] gilt [mm]A\subsetneq B[/mm] oder [mm]B\subsetneq A[/mm] und [mm]\IR=\bigcup_{A\in C'}A[/mm]. Nach Annahme sind die Elemente von [mm]C'[/mm] paarweise verschieden und für je zwei Elemente [mm]A,B\in C'[/mm] gilt [mm]|A|<|B|[/mm] oder [mm]|A|>|B|[/mm] oder [mm]A=B[/mm]. Somit ist also [mm]f:C'\to\IN[/mm] definiert durch [mm]A\mapsto |A|[/mm] injektiv. Somit ist [mm]C'[/mm] abzählbar und da eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen (hier sogar endlicher Mengen) abzählbar ist, folgt ein Widerspruch.
Das einzige, was jetzt noch offen ist, ist die Existenz von [mm]C'[/mm]. Das sollte nun aber wirklich klappen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Di 28.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> Zu zeigen ist: Sei [mm]X[/mm] die Menge der endlichen Teilmengen von
> [mm]\IR.[/mm] Dann existiert eine Kette [mm]C\subseteq X[/mm], i.e. für je
> zwei [mm]A,B\in C[/mm] gilt entweder [mm]A\subseteq B[/mm] oder [mm]B\subseteq A[/mm],
> so dass [mm]\IR=\bigcup_{A\in C}A[/mm].
>
Muss die Vereinigung nicht abzählbar sein in diesem Fall? Dann darf es doch so ein C nicht geben, oder?!
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Edit: Ich glaube, ich habe die Frage beantwortet: nein!
> Nimm an, [mm]C[/mm] sei eine solche Kette. Wir betrachten die
> Teilmenge [mm]C'\subseteq C[/mm], so dass für alle [mm]A,B\in C'[/mm] gilt
Nunja, entweder forderst du $A [mm] \neq [/mm] B$, da ansonsten fuer $A = B$ weder $A [mm] \subsetneq [/mm] B$ noch $B [mm] \subsetneq [/mm] A$ gilt (und in dem Fall ist dann $C = C'$), oder es gibt so ein $C'$ nicht.
> [mm]A\subsetneq B[/mm] oder [mm]B\subsetneq A[/mm] und [mm]\IR=\bigcup_{A\in C'}A[/mm].
> Nach Annahme sind die Elemente von [mm]C'[/mm] paarweise verschieden
> und für je zwei Elemente [mm]A,B\in C'[/mm] gilt [mm]|A|<|B|[/mm] oder
> [mm]|A|>|B|[/mm] oder [mm]A=B[/mm].
Das gilt auch fuer $C$ selber.
> Somit ist also [mm]f:C'\to\IN[/mm] definiert durch
> [mm]A\mapsto |A|[/mm] injektiv. Somit ist [mm]C'[/mm] abzählbar und da eine
> abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen (hier sogar
> endlicher Mengen) abzählbar ist, folgt ein Widerspruch.
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Do 18.08.2011 | | Autor: | Mutter |
> Nunja, entweder forderst du [mm]A \neq B[/mm], da ansonsten fuer [mm]A = B[/mm]
> weder [mm]A \subsetneq B[/mm] noch [mm]B \subsetneq A[/mm] gilt (und in dem
> Fall ist dann [mm]C = C'[/mm]), oder es gibt so ein [mm]C'[/mm] nicht.
Das ist klar, das habe ich vergessen hinzuschreiben. Es soll ja eine Kette sein.
> Das gilt auch fuer [mm]C[/mm] selber.
Das stimmt auch, also brauche ich gar kein [mm]C'[/mm] zu finden. Weiss gerade nicht, was mich da geritten hatte.
Danke
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