Es sei f: \IR--> \IR eine Funk < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Wendy |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion und für gewisse Koeffizienten [mm] a_n\ge0 [/mm] gelte
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{ \infty} a_n*x^n:=\limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{N}a_n*x^n [/mm] für jedes [mm] x\in \IR
[/mm]
Beweise:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*a_n*x^{n-1} [/mm] konvergiert für jedes [mm] x\in \IR
[/mm]
Tip. Benutze die Darstellung von f an der Stelle 2|x|
(b) f ist differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] und [mm] f'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n*a_n*x^{n-1} [/mm] für jedes [mm] x\in \IR
[/mm]
Tip. Benutze die Darstellung von f an der Stelle |x|+1
(c) [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] für alle n |
Dies ist eine Aufgabe von unserem tollen Übungsblatt. Niemand hat so recht eine Ahnung, was wir überhaupt machen sollen. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich anfangen kann oder wo ich ggf. so etwas im Internet finden könnte...
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Hallo!
Wie viel wisst ihr denn schon über Reihen? Ich gehe jetzt mal davon aus, dass ihr das Quotientenkriterium hattet.
Zu a): Zeige zunächst, dass [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}\to [/mm] 0$ mit [mm] $n\to\infty$. [/mm] Folgere dann, dass [mm] $\bruch{(n+1)a_{n+1}}{na_n}\to [/mm] 0$. Das impliziert die Konvergenz der Reihe.
Zu b): Hier bin ich momentan noch etwas ratlos. Ich kenne zwar einen Beweis dafür, allerdings hat der überhaupt nichts mit dem Tipp zu tun. Ich werde nochmal darüber nachdenken, oder vielleicht hat noch jemand anderes eine Idee...
Zu c): Durch mehrfache Anwendung von b) kommst du auf die Formel: [mm] $f^{(n)}(x)=\summe_{k=0}^\infty\bruch{k!}{(k-n)!}a_kx^{k-n}$. [/mm] Jetzt setze einfach $x=0$...
Gruß, banachella
PS: Bitte beachte in Zukunft unsere Forenregeln. Über eine freundliche Anrede freut sich doch schließlich jeder!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Wendy |
Hallo!-zurück *g*
Sorry, hab einfach total vergessen eine Begrüßung zu schreiben. Bin noch ziemlich neu hier und versuch immer auf sämtliche Forenregeln und Angaben beim Senden zu achten, aber es sind ein bissl viele auf einmal... Versuche mich zu bessern!!!
Vielen lieben Dank für deine Hilfe- hab endlich mal was hingekriegt. Das Quotientenkriterium hatten wir noch nicht. Bin im ersten Semester...
Also nochmals: DANKE SCHÖN!!!
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