Euklidische Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 24.09.2012 | | Autor: | ralpho |
| Aufgabe | Gegeben ist eine affine Quadrik [mm]Q_{aff} \subseteq
A(\mathbb{R}^3)[/mm]. Mann bestimmte die Euklidische Normalform.
[mm]4x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2-4x_1x_3+4x_3^2-4x_2x_3-5x_1+7x_2+7x_3+1[/mm] |
Hallo,
Also ich komm bei diesem Beispiel nicht ganz weiter.
Ich hab das ganze mal in Matrixschreibweise umgeschrieben.
Dabei komm ich dann auf [mm]G=\begin{pmatrix}
4 & -2 & -2 \\
-2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4
\end{pmatrix} g=\begin{pmatrix}
-2.5 & 3.5 & 3.5
\end{pmatrix} c = 1
[/mm]
Nun steht in meinem Skript, es gibt 2 grundlegende Typen. Hier ist das Gleichungssystem [mm]m^T*G=-g[/mm] nicht lösbar also handelt es sich hier um keine "Mittelpunktsquadrik". Nun habe ich mir die Eigenwerte von G bestimmt. Diese sind genau 0,6,6. Die dazugehörigen Eigenvektoren sind [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Nun steht in meinem Skript, dass ich eine ONB von Eigenraum zu 0 wählen muss, wobei alle bis auf einen Vektor zu g orthogonal stehen sollen. Hier steh ich jetzt irgendwie an. Was soll ich hier für Vektoren nehmen?
Danke,
Ralph
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Hallo ralpho,
> Gegeben ist eine affine Quadrik [mm]Q_{aff} \subseteq
A(\mathbb{R}^3)[/mm].
> Mann bestimmte die Euklidische Normalform.
> [mm]4x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2-4x_1x_3+4x_3^2-4x_2x_3-5x_1+7x_2+7x_3+1[/mm]
> Hallo,
> Also ich komm bei diesem Beispiel nicht ganz weiter.
> Ich hab das ganze mal in Matrixschreibweise umgeschrieben.
> Dabei komm ich dann auf [mm]G=\begin{pmatrix}
4 & -2 & -2 \\
-2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4
\end{pmatrix} g=\begin{pmatrix}
-2.5 & 3.5 & 3.5
\end{pmatrix} c = 1
[/mm]
>
> Nun steht in meinem Skript, es gibt 2 grundlegende Typen.
> Hier ist das Gleichungssystem [mm]m^T*G=-g[/mm] nicht lösbar also
> handelt es sich hier um keine "Mittelpunktsquadrik". Nun
> habe ich mir die Eigenwerte von G bestimmt. Diese sind
> genau 0,6,6. Die dazugehörigen Eigenvektoren sind
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Nun steht in meinem Skript, dass ich eine ONB von Eigenraum
> zu 0 wählen muss, wobei alle bis auf einen Vektor zu g
> orthogonal stehen sollen. Hier steh ich jetzt irgendwie an.
> Was soll ich hier für Vektoren nehmen?
>
Den Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist nur noch zu normieren.
Dieser Eigenvektor ist orthogonal zu
den Eigenvektoren zum Eigenwert 6.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert 6 sind nicht orthogonal.
Von diesen Vektoren ist eine ONB zu bestimmen.
> Danke,
> Ralph
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 26.09.2012 | | Autor: | ralpho |
Hallo,
Danke für deine Antwort, jedoch komme ich noch nicht ganz zur Lösung.
Wenn ich die zwei Eigenvektoren von 6 mittels Gram-Schmidt in eine Orthogonalbasis transformiere und dann normiere komme ich auf die zwei Vektoren [mm]\begin{pmatrix}
-1 / \sqrt{2} \\
0 \\
1 / \sqrt{2} \\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 /\sqrt{6} \\
\sqrt{2/3} \\
-1 / \sqrt{6} \\
\end{pmatrix} [/mm] und als dritten halt den normierten EV zu 0 also [mm] [mm] \begin{pmatrix} 1/ \sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}. [/mm]
Wenn ich nun aber mein g mit den drei vektoren multipliziere kommt leider nicht 0 raus, was aber bei zumindest zwei der Fall sein sollte?!
Denn meine Matrix ist ja so aufgebaut
[mm] \begin{pmatrix}
c & g1 & g2 & g3 \\
g1 & G11 & G12 & G13 \\
g2 & G21 & G22 & G23 \\
g3 & G31 & G32 & G33 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
In meinen vorgerechneten Beispiel werden die neuen Einträge g1, g2 und g3 nun mit Multiplikation des vektors g mit jeweils einem Vektor der neuen ONB generiert, dabei sind dann 2 Null, was ja eine vereinfachung der Form darstellt.
Danke,
Ralph
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Hallo ralpho,
> Hallo,
> Danke für deine Antwort, jedoch komme ich noch nicht ganz
> zur Lösung.
>
> Wenn ich die zwei Eigenvektoren von 6 mittels Gram-Schmidt
> in eine Orthogonalbasis transformiere und dann normiere
> komme ich auf die zwei Vektoren [mm]\begin{pmatrix}
-1 / \sqrt{2} \\
0 \\
1 / \sqrt{2} \\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 /\sqrt{6} \\
\sqrt{2/3} \\
-1 / \sqrt{6} \\
\end{pmatrix}[/mm]
> und als dritten halt den normierten EV zu 0 also
> [mm][mm]\begin{pmatrix} 1/ \sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}.[/mm]
Wenn ich nun aber mein g mit den drei vektoren multipliziere kommt leider nicht 0 raus, was aber bei zumindest zwei der Fall sein sollte?!
Denn meine Matrix ist ja so aufgebaut
[mm]\begin{pmatrix}
> c & g1 & g2 & g3 \\[/mm][/mm]
> [mm][mm] g1 & G11 & G12 & G13 \\[/mm][/mm]
> [mm][mm] g2 & G21 & G22 & G23 \\[/mm][/mm]
> [mm][mm] g3 & G31 & G32 & G33 \\[/mm][/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> \end{pmatrix}[/mm]
In meinen vorgerechneten Beispiel werden die neuen Einträge g1, g2 und g3 nun mit Multiplikation des vektors g mit jeweils einem Vektor der neuen ONB generiert, dabei sind dann 2 Null, was ja eine vereinfachung der Form darstellt.
Danke,
Ralph
Wenn da 0 herauskommen sollte, dann ist das Zufall.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 27.09.2012 | | Autor: | ralpho |
ok ok. Wie geh ich dann weiter vor?
danke
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Hallo ralpho,
> ok ok. Wie geh ich dann weiter vor?
>
Bestimme die transfomierte Form.
> danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 01.10.2012 | | Autor: | ralpho |
Gut. Dazu habe ich [mm]T^(-1)*G*T[/mm] gebildet. Wobei T die Matrix der ONB ist. Stimmt das? Da komme ich auf [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 &0 \\
0&6&0 \\
0&0&6
\end{pmatrix}[/mm]
Den linearen Teil also g habe ich ebenfalls mit T multipliziert.
Dann komme ich auf die Form [mm]6x_2^2+6x_3^2+3*\sqrt{3}*x_1+6*\sqrt{2}*x_2+2*\sqrt{6}*x_3+1=0[/mm]. Hier komme ich aber mit quadratischer Ergänzung nicht weiter?
Danke für dein Geduld,
Ralph
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Hallo ralpho,
> Gut. Dazu habe ich [mm]T^(-1)*G*T[/mm] gebildet. Wobei T die Matrix
> der ONB ist. Stimmt das? Da komme ich auf [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 &0 \\
0&6&0 \\
0&0&6
\end{pmatrix}[/mm]
> Den linearen
> Teil also g habe ich ebenfalls mit T multipliziert.
> Dann komme ich auf die Form
> [mm]6x_2^2+6x_3^2+3*\sqrt{3}*x_1+6*\sqrt{2}*x_2+2*\sqrt{6}*x_3+1=0[/mm].
> Hier komme ich aber mit quadratischer Ergänzung nicht
> weiter?
>
Dann poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
Siehe auch: Quadratische Ergänzung
> Danke für dein Geduld,
> Ralph
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 02.10.2012 | | Autor: | ralpho |
Hallo,
Also ich hab mit der Form [mm]4x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2-4x_1x_3+4x_3^2-4x_2x_3-5x_1+7x_2+7x_3+1[/mm] angefangen. Habe die EW und EV der Matrix [mm]G=\begin{pmatrix}
4 & -2 & -2 \\
-2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4
\end{pmatrix}[/mm] bestimmt. Komme hier auf die EV [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]. Nun bin ich wie du gesagt hast so vorgegangen, dass ich eine Orthogonalbasis von [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] mittels Gram-Schmidt bestimme und diese dann normiere und mit dem dritten EV zu einer ONB komme. Diese Matrix [mm]T:=\begin{pmatrix}
1/\sqrt{3} & -1 / \sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \\
1/\sqrt{3} & 0 & \sqrt{2/3} \\
1/\sqrt{3} & 1 / \sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \\
\end{pmatrix}[/mm] habe ich dann von links und von rechts auf G multipliziert. also [mm]T^{-1}*G*T = \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\
0&6&0 \\
0&0&6
\end{pmatrix}[/mm]. Den Gradienten g habe ich mittels [mm]T^-1 * g = \begin{pmatrix} 1.5 \sqrt{3} & 3 \sqrt{2} & \sqrt{6} \end{pmatrix}[/mm] transformiert.
Nun stehe ich eben dann bei der Form [mm]6x_2^2+6x_3^2+3*\sqrt{3}*x_1+6*\sqrt{2}*x_2+2*\sqrt{6}*x_3+1=0[/mm].
Danke
Ralph
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Hallo ralpho,
> Hallo,
> Also ich hab mit der Form
> [mm]4x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2-4x_1x_3+4x_3^2-4x_2x_3-5x_1+7x_2+7x_3+1[/mm]
> angefangen. Habe die EW und EV der Matrix
> [mm]G=\begin{pmatrix}
4 & -2 & -2 \\
-2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
> bestimmt. Komme hier auf die EV [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
> Nun bin ich wie du gesagt hast so vorgegangen, dass ich
> eine Orthogonalbasis von [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> mittels Gram-Schmidt bestimme und diese dann normiere und
> mit dem dritten EV zu einer ONB komme. Diese Matrix
> [mm]T:=\begin{pmatrix}
1/\sqrt{3} & -1 / \sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \\
1/\sqrt{3} & 0 & \sqrt{2/3} \\
1/\sqrt{3} & 1 / \sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \\
\end{pmatrix}[/mm]
> habe ich dann von links und von rechts auf G multipliziert.
> also [mm]T^{-1}*G*T = \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\
0&6&0 \\
0&0&6
\end{pmatrix}[/mm].
> Den Gradienten g habe ich mittels [mm]T^-1 * g = \begin{pmatrix} 1.5 \sqrt{3} & 3 \sqrt{2} & \sqrt{6} \end{pmatrix}[/mm]
> transformiert.
> Nun stehe ich eben dann bei der Form
> [mm]6x_2^2+6x_3^2+3*\sqrt{3}*x_1+6*\sqrt{2}*x_2+2*\sqrt{6}*x_3+1=0[/mm].
>
[mm]x_{1}[/mm] ist stehen zu kassen, da dies nur linear vorkommt.
Interessant wird es bei [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm].
Diese kommen beide höchstens quadraisch vor.
Betrachtet man den Ausdruck
[mm]6x_2^2+6*\sqrt{2}*x_2[/mm]
,so ist dieser zunächst so zu schreiben:
[mm]6x_2^2+6*\sqrt{2}*x_2=6*\left(x_{2}^{2}+\wurzel{2}x_{2}\right)[/mm]
Den rechtsstehenden kann man noch anders schreiben:
[mm]x_{2}^{2}+\wurzel{2}x_{2}=\left(x_{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)^{2}-\left(\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)^{2}[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]6x_2^2+6*\sqrt{2}*x_2=6*\left(x_{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)^{2}-6*\left(\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)^{2}[/mm]
So, und jetzt bist Du wieder dran.
> Danke
> Ralph
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 02.10.2012 | | Autor: | ralpho |
Hallo,
Ahhh klar. Danke! Teilweise stehe ich echt am Schlauch :/
Also ich ersetze [mm]z_2=x_2+\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]. Das gleiche mache ich mit [mm]z_3=x_3+\frac{\sqrt{6}}{6}[/mm].
Damit komme ich zur Form [mm]6z_2^2+6z_3^2+3*\sqrt{3}*x_1-3=0[/mm]
Wobei ich dann hier nichtmehr weiterkomme und dies aber noch keine endgültige Form sein kann oder?
Danke nochmal
Ralph
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Hallo ralpho,
> Hallo,
> Ahhh klar. Danke! Teilweise stehe ich echt am Schlauch :/
>
> Also ich ersetze [mm]z_2=x_2+\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]. Das gleiche
> mache ich mit [mm]z_3=x_3+\frac{\sqrt{6}}{6}[/mm].
>
> Damit komme ich zur Form [mm]6z_2^2+6z_3^2+3*\sqrt{3}*x_1-3=0[/mm]
>
> Wobei ich dann hier nichtmehr weiterkomme und dies aber
> noch keine endgültige Form sein kann oder?
>
Das ist noch nicht die endgültige Form.
Dazu bedarf es noch einer Transformation.
Setze dazu [mm]z_{1}=\bruch{3*\sqrt{3}*x_1-3}{2}[/mm]
Desweitern schreibe [mm]6z_{2}^{2}=\bruch{z_{2}^{2}}{\left(1/\wurzel{6}\right)^{2}}[/mm]
Dasselbe machst Du mit [mm]6z_{3}^{2}[/mm]
Dann hast Du die endgültige Form.
> Danke nochmal
> Ralph
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 03.10.2012 | | Autor: | ralpho |
So jetzt is es endlich fertig. Herzlichen Dank für deine Geduld!
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> Gegeben ist eine affine Quadrik [mm]Q_{aff} \subseteq
A(\mathbb{R}^3)[/mm].
> Mann bestimmte die Euklidische Normalform.
Ah ja - interessant !
Wusste gar noch nicht so recht, dass Thomas Mann
auch mathematisch etwas drauf hatte ... 
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Do 27.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Gegeben ist eine affine Quadrik [mm]Q_{aff} \subseteq
A(\mathbb{R}^3)[/mm].
> > Mann bestimmte die Euklidische Normalform.
>
>
> Ah ja - interessant !
>
> Wusste gar noch nicht so recht, dass Thomas Mann
> auch mathematisch etwas drauf hatte ...
Hallo Al,
soweit war Thomas Mann von der Mathematik gar nicht entfernt, denn er hatte einen großen Mathematiker als Schwiegervater: Alfred Pringsheim.
http://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Pringsheim
Gruß FRED
>
> LG Al-Chw.
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> > > Gegeben ist eine affine Quadrik [mm]Q_{aff} \subseteq
A(\mathbb{R}^3)[/mm].
> > > Mann bestimmte die Euklidische Normalform.
> >
> >
> > Ah ja - interessant !
> >
> > Wusste gar noch nicht so recht, dass Thomas Mann
> > auch mathematisch etwas drauf hatte ...
>
>
> Hallo Al,
>
> soweit war Thomas Mann von der Mathematik gar nicht
> entfernt, denn er hatte einen großen Mathematiker als
> Schwiegervater: Alfred Pringsheim.
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Pringsheim
>
> Gruß FRED
Mein (erster) Schwiegervater war ein bekannter
Historiker - aber auf mich hat das überhaupt nicht
abgefärbt (das bedaure ich allerdings nicht einmal
so sehr ...)
Affinitäten von T.M. zur Mathematik (am ehesten
in der Form einer Bewunderung "von ferne")
kann ich allerdings schon erkennen, z.B. in seinem
Roman "Das Glasperlenspiel" .
LG
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> Affinitäten von T.M. zur Mathematik (am ehesten
> in der Form einer Bewunderung "von ferne")
> kann ich allerdings schon erkennen, z.B. in seinem
> Roman "Das Glasperlenspiel" .
Oh Mann, da habe ich mich ja wieder mal in die Nesseln gesetzt:
"Das Glasperlenspiel" ist gar nicht von T.M. , sondern von
seinem ebenso großen Zeitgenossen und Freund H.H.
Als kleine Entschuldigung für meinen Missgriff kann ich
nur noch etwa auf dies verweisen:
"Als Thomas Mann während dem 2. Weltkrieg das "Glasperlenspiel" zu lesen bekam, war er frappiert von den Parallelen zu seinem eigenen Romanprojekt Dr. Faustus. Tatsächlich ist auch die Geschichte Adrian Leverkühns die Geschichte einer Teufelsverführung und eines Scheiterns. Auch Leverkühn versteigt sich in eine Welt geistvollen Spiels. ..." ![[]](/images/popup.gif) Parallelen
LG
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Do 27.09.2012 | | Autor: | ralpho |
Dann hat der gute Mann wohl genausowenig Ahnung von diesem Beispiel wie ich!
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