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| Aufgabe | Bestimmen Sie zwei Polynome $r$ und $s$ so, dass $rf + sg$ der normierte
ggT von $f$ und $g$ ist.
b) $f = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X$ und $g = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^3 -X^2 [/mm] +X +1$ [mm] \in \IF_{3}[X]
[/mm]
c) $f = [mm] X^3 [/mm] + [mm] \omega [/mm] X + [mm] \omega [/mm] + 1$ und $g = [mm] X^2 +\omega [/mm] X$ [mm] \in \IF_{4}[X] [/mm] |
So bei der b) hab ich was raus, was hoffentlich richtig ist. Bei der c) weiss ich aber weder wie ich mit dem [mm] $\IF_{4}[X]$ [/mm] umgehen soll, noch was diese [mm] $\omega$ [/mm] sein soll.
zu b)
[mm] \begin{matrix}
x^4 + x^3 -x^2 +x +1 &=& 1 * (x^4 + x^2 + x) +x^3 - 2x^2 +1 \\
x^4 + x^2 + x &=& x * (x^3 - 2x^2 +1) + 0
\end{matrix}
[/mm]
Es ist also ggT(f,g) = [mm] x^3-2x^2+1 [/mm] = [mm] x^3+x^2+1
[/mm]
Die gesuchte Darstellung sf+tg = ggT(f,g) ist dann
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -x } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ * & * }
[/mm]
Also ist $s = -1 , t =1$
soweit, wie lässt sich dieses Konzept aber auf Aufgabenteil c) übertragen?
das einzige was ich bisher herausgefunden habe ist:
[mm] $$\IF_{4} [/mm] = [mm] \IF_{2}\setminus (x^2+x+1)\IF_{2}$$
[/mm]
und in diesem Körper gilt:
[mm] $$\omega^2 [/mm] = [mm] \omega [/mm] + 1$$
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Hat denn keiner eine Idee? Ich komm wirklich nicht weiter und Dienstag steht die LA Klausur vor der Tür!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 25.09.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bestimmen Sie zwei Polynome [mm]r[/mm] und [mm]s[/mm] so, dass [mm]rf + sg[/mm] der
> normierte
> ggT von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] ist.
>
> c) [mm]f = X^3 + \omega X + \omega + 1[/mm] und [mm]g = X^2 +\omega X[/mm]
> [mm]\in \IF_{4}[X][/mm]
> So bei der b) hab ich was raus, was
> hoffentlich richtig ist. Bei der c) weiss ich aber weder
> wie ich mit dem [mm]\IF_{4}[X][/mm] umgehen soll, noch was diese
> [mm]\omega[/mm] sein soll.
Das steht doch unten, [mm] \omega [/mm] ist eines der beiden von 1 verschiedenen Elemente in der multiplikativen Gruppe von [mm] \IF_4.
[/mm]
> soweit, wie lässt sich dieses Konzept aber auf
> Aufgabenteil c) übertragen?
> das einzige was ich bisher herausgefunden habe ist:
>
> [mm]\IF_{4} = \IF_{2}\setminus (x^2+x+1)\IF_{2}[/mm]
[mm] \IF_{4} [/mm] = [mm] \IF_{2}[X]/(x^2+x+1)*\IF_{2}[X]
[/mm]
also die Erweiterung vom Grad 2 von [mm] \IF_{2}
[/mm]
> und in diesem
> Körper gilt:
> [mm]\omega^2 = \omega + 1[/mm]
Genau!
Nun der Euklid. Alg.:
[mm] X^3 [/mm] + [mm] \omega*X [/mm] + [mm] \omega [/mm] + 1 : [mm] X^2 [/mm] + [mm] \omega*X [/mm] = X - [mm] \omega [/mm] R. X + [mm] \omega [/mm] + 1
[mm] X^2 [/mm] + [mm] \omega*X [/mm] : X + [mm] \omega [/mm] + 1 = X - 1 R. [mm] \omega [/mm] + 1
(fast) fertig, weil der letzte Rest eine Einheit ist
rückwärts einsetzen gibt
[mm] \omega [/mm] + 1 = [mm] -(X^3 [/mm] + [mm] \omega*X [/mm] + [mm] \omega [/mm] + 1)(X - 1) + [mm] (X^2 [/mm] + [mm] \omega*X)[(X [/mm] - [mm] \omega)(X [/mm] - 1) + 1]
leider war der normierte ggT gefragt, also 1, also letzte Gl. noch mit [mm] \omega [/mm] durchmultiplizieren
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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