Euklidischer Hauptsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 04.09.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe hier einen Beweis zum Euklidischen Hauptsatz, das meine ich zumindest, bin mir aber nicht sicher, ob es wirklich so ist und der Schluss diesen Beweises ist mir auch nicht einleuchtend. Bitte also jemanden um die Bestätigung meiner Vermutung, dass dies der Beweis des Euklidischen Hauptsatzes ist und um die Klährung der letzten zwei Zeilen. Danke.
Satz: Sei p eine Primzahl,dann gilt: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] : p teilt a [mm] \* [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] p teilt a [mm] \vee [/mm] p teilt b.
Bew.: Sei p eine Primzahl, seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] gegeben und sei p teilt a [mm] \* [/mm] b.
1.Fall:p teilt a [mm] \Rightarrow [/mm] der Fall ist offensichtlich klar.
2.Fall:p teilt nicht a [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(p,a)=1.
Man findet x,y [mm] \in \IZ [/mm] mit 1=ax+by, also ist b=xpb+yab.
p teilt a [mm] \* [/mm] b, also p teilt b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 04.09.2006 | | Autor: | EvenSteven |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe hier einen Beweis zum Euklidischen Hauptsatz, das
> meine ich zumindest, bin mir aber nicht sicher, ob es
> wirklich so ist und der Schluss diesen Beweises ist mir
> auch nicht einleuchtend. Bitte also jemanden um die
> Bestätigung meiner Vermutung, dass dies der Beweis des
> Euklidischen Hauptsatzes ist und um die Klährung der
> letzten zwei Zeilen. Danke.
>
> Satz: Sei p eine Primzahl,dann gilt: [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] :
> p teilt a [mm]\*[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] p teilt a [mm]\vee[/mm] p teilt b.
> Bew.: Sei p eine Primzahl, seien a,b [mm]\in \IZ[/mm] gegeben und
> sei p teilt a [mm]\*[/mm] b.
> 1.Fall:p teilt a [mm]\Rightarrow[/mm] der Fall ist offensichtlich
> klar.
Ich kenne den Beweis des Satzes zwar nicht, aber benutzt du bei dieser Fallunterscheidung nicht schon, dass a durch p teilbar ist? Ich meine, du musst ja beweisen, dass a durch p teilbar ist.
> 2.Fall:p teilt nicht a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(p,a)=1.
> Man findet x,y [mm]\in \IZ[/mm] mit 1=ax+by, also ist b=xpb+yab.
> p teilt a [mm]\*[/mm] b, also p teilt b
Gruss
EvenSteven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 04.09.2006 | | Autor: | MasterMG |
richtig, deshalb meine ich ja auch, dass der 1. Fall offensichtlich klar ist, weil die Annahme mit meinem Ziel, nämlch zu beweisen, dass a durch p teilbar ist, bereits übereinstimmt. Somit wird der 2. Fall erst interessant. Der 1. Fall ist reine Formsache.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 04.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe hier einen Beweis zum Euklidischen Hauptsatz, das
> meine ich zumindest, bin mir aber nicht sicher, ob es
> wirklich so ist und der Schluss diesen Beweises ist mir
> auch nicht einleuchtend. Bitte also jemanden um die
> Bestätigung meiner Vermutung, dass dies der Beweis des
> Euklidischen Hauptsatzes ist und um die Klährung der
> letzten zwei Zeilen. Danke.
>
> Satz: Sei p eine Primzahl,dann gilt: [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] :
> p teilt a [mm]\*[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] p teilt a [mm]\vee[/mm] p teilt b.
Wenn dass der `Euklidische Hauptsatz' ist: Ja, dann ist das folgende ein Beweis davon.
> Bew.: Sei p eine Primzahl, seien a,b [mm]\in \IZ[/mm] gegeben und
> sei p teilt a [mm]\*[/mm] b.
> 1.Fall:p teilt a [mm]\Rightarrow[/mm] der Fall ist offensichtlich
> klar.
> 2.Fall:p teilt nicht a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(p,a)=1.
So, nun zu den kritischen Zeilen:
> Man findet x,y [mm]\in \IZ[/mm] mit 1=ax+by, also ist b=xpb+yab.
Du meinst, man findet $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $1 = p x + a y$. Ansonsten kommst du nicht auf die hintere Gleichung. Dass es solche $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt liefert der Euklidische Algorithmus zur ggT-Bestimmung.
> p teilt a [mm]\*[/mm] b, also p teilt b
Wenn $b = x p b + y a b$ ist, dann ist $p$ ein Teiler von $x p b$ und ein Teiler von $y a b$, und somit auch von deren Summe, die gleich $b$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 04.09.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ok, vielen Dank schon mal dafür. Eine kleine Frage hab ich dann aber noch, nämlich:
Wenn b=xbp+aby ist, dann ist p ein Teiler von xpb und ein Teiler von yab.
Dass p ein Teiler von xpb ist, ist klar, denn xpb enthält p als Faktor. Wie ist es aber bei yab zu erkennen? Geht diese Tatsache auf den Euklidischen Algorithmus zur ggT-Bestimmung zurück oder ist es aus diesem Beweis irgendwie zu entnehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 04.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dass p ein Teiler von xpb ist, ist klar, denn xpb enthält p
> als Faktor. Wie ist es aber bei yab zu erkennen? Geht diese
$p$ ist ein Teiler von $a b$ (nach Voraussetzung!), und damit auch ein Teiler von $y a b$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mo 04.09.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ja, stimmt, alles klar.
Vielen Dank nochmal.
MFG
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