Euklidischer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl.
Zeigen Sie, dass der Ring
[mm] \IZ_{p} [/mm] = [mm] \{ \frac{a}{b} \in \IQ | ggT(b,p)=1 \}
[/mm]
mit der üblichen Addition und Multiplikation aus [mm] \IQ [/mm] ein euklidischer Ring ist.
(Hinweis: Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] d(\frac{a}{b})=|a| [/mm] für einen vollständig gekürzten Bruch [mm] \frac{a}{b} [/mm] eine euklidische Wertefunktion ist und verwenden Sie hierfür, dass [mm] \IZ [/mm] ein euklidischer Ring ist.)
Sie brauchen nicht zu zeigen, dass die angegebene Menge tatsächlich ein Unterring von [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hallo 
Als erstes muss festgestellt werden, ob ein Integritätsbereich vorliegt. Da aber [mm] (\IQ, [/mm] +, *) ein Körper, folgt die Voraussetzung.
Nun muss man ja eine Wertefunktion d finden mit d: [mm] \IZ(p) \rightarrow \IZ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] d(\frac{c}{d}) [/mm] > d(r), wenn gilt:
[mm] \frac{a}{b}=\frac{c}{d}*q+r, [/mm] q,r [mm] \in \IZ(p).
[/mm]
Es gilt: [mm] d(\frac{a}{b})=|a| [/mm] für einen vollständig gekürzten Bruch.
Aber ist es nicht möglich, z.B. [mm] q=\frac{da}{cb} [/mm] zu setzen?
Denn dann gilt: [mm] \frac{a}{b}=\frac{da}{cb}\frac{c}{d} [/mm] + 0
Und [mm] \frac{da}{cb} \in \IZ(p), [/mm] da ggT(cb,p)=1
Und dann könnte man doch folgern [mm] d(\frac{c}{d})=|c|>0=d(0)=d(Rest)
[/mm]
Wo bin ich hier gedanklich falsch abgebogen?
Liebe Grüße,
Topologe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 So 01.12.2013 | | Autor: | Topologe |
Keiner eine Idee? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mo 02.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p eine Primzahl.
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> Zeigen Sie, dass der Ring
>
> [mm]\IZ_{p}[/mm] = [mm]\{ \frac{a}{b} \in \IQ | ggT(b,p)=1 \}[/mm]
>
> mit der üblichen Addition und Multiplikation aus [mm]\IQ[/mm] ein
> euklidischer Ring ist.
> (Hinweis: Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]d(\frac{a}{b})=|a|[/mm]
> für einen vollständig gekürzten Bruch [mm]\frac{a}{b}[/mm] eine
> euklidische Wertefunktion ist und verwenden Sie hierfür,
> dass [mm]\IZ[/mm] ein euklidischer Ring ist.)
>
> Sie brauchen nicht zu zeigen, dass die angegebene Menge
> tatsächlich ein Unterring von [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hallo
>
> Als erstes muss festgestellt werden, ob ein
> Integritätsbereich vorliegt. Da aber [mm](\IQ,[/mm] +, *) ein
> Körper, folgt die Voraussetzung.
>
> Nun muss man ja eine Wertefunktion d finden mit d: [mm]\IZ(p) \rightarrow \IZ[/mm]
> mit der Eigenschaft [mm]d(\frac{c}{d})[/mm] > d(r), wenn gilt:
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}*q+r,[/mm] q,r [mm]\in \IZ(p).[/mm]
Nein, musst du nicht. Du musst zeigen: zu jedem $a/b$, $c/d [mm] \in [/mm] Z(p)$ gibt es $q, r [mm] \in [/mm] Z(p)$ mit $a/b = c/d [mm] \cdot [/mm] q + r$ und $d(r) < d(c/d)$.
> Es gilt: [mm]d(\frac{a}{b})=|a|[/mm] für einen vollständig
> gekürzten Bruch.
>
> Aber ist es nicht möglich, z.B. [mm]q=\frac{da}{cb}[/mm] zu
> setzen?
Es koennte $p [mm] \mid [/mm] c b$ gelten.
> Denn dann gilt: [mm]\frac{a}{b}=\frac{da}{cb}\frac{c}{d}[/mm] + 0
>
> Und [mm]\frac{da}{cb} \in \IZ(p),[/mm] da ggT(cb,p)=1
Eben nicht.
Versuch es wie folgt: es ist [mm] $\frac{a/b}{c/d} [/mm] = [mm] \frac{a d}{b c}$. [/mm] Schreibe $a d = [mm] \hat{q} [/mm] c + [mm] \hat{r}$ [/mm] mit $0 [mm] \le \hat{r} [/mm] < c$. Und jetzt musst du weitermachen :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Di 03.12.2013 | | Autor: | Topologe |
Danke für die Antwort
Hm,
[mm] \frac{a/b}{c/d} [/mm] = [mm] \frac{ad}{bc}, [/mm] ersetze ad mit q'c+r', mit 0 [mm] \le [/mm] r' < c
[mm] \frac{ad}{bc}=\frac{q'c+r'}{bc} [/mm] = [mm] \frac{q'}{b}+\frac{r'}{bc} [/mm]
hm, hab jetzt versucht in alle Richtungen zu probieren, aber was gescheites kam dabei irgendwie nicht raus..... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Antwort
>
> Hm,
>
> [mm]\frac{a/b}{c/d}[/mm] = [mm]\frac{ad}{bc},[/mm] ersetze ad mit q'c+r', mit
> 0 [mm]\le[/mm] r' < c
>
> [mm]\frac{ad}{bc}=\frac{q'c+r'}{bc}[/mm] =
> [mm]\frac{q'}{b}+\frac{r'}{bc}[/mm]
Da du $a/b = ...$ da stehen haben willst, multipliziere diese Gleichung doch mal mit $c/d$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 03.12.2013 | | Autor: | Topologe |
Tut mir leid, aber leider steh ich total auf'm Schlauch.
Mir ist die Absicht der folgenden Schritte nicht ganz klar. Wir wollen doch zeigen [mm] d(\frac{c}{d}) [/mm] > d(r).
Aber wenn wir jetzt Umformungen starten mit [mm] \frac{a}{b}=... [/mm] ist mir leider nicht ganz klar, wo wir jetzt hinwollen... :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 03.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Tut mir leid, aber leider steh ich total auf'm Schlauch.
>
> Mir ist die Absicht der folgenden Schritte nicht ganz klar.
> Wir wollen doch zeigen [mm]d(\frac{c}{d})[/mm] > d(r).
> Aber wenn wir jetzt Umformungen starten mit
> [mm]\frac{a}{b}=...[/mm] ist mir leider nicht ganz klar, wo wir
> jetzt hinwollen... :-(
Bevor du etwas ueber $d(r)$ aussagen kannst, musst du doch erstmal wissen, was $r$ sein soll. Darum geht's hier.
LG Felix
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