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Wie haben Euler / Mascheroni die Zahl γ = 0,57721 56649 01532 86060 ...
um 1734 / 1790 berechnet ?
= (die Differenz aus" ln unendlich" zur Summe aller Stammbrüche von 1/1 bis 1/unendlich).
Kann ich die Berechnung als Nicht-studierter Mathematiker nachvollziehen ?
Existiert eine schnell-iterative numerische (einfache) Berechnung ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wie haben Euler / Mascheroni die Zahl γ = 0,57721 56649
> 01532 86060 ...
> um 1734 / 1790 berechnet ?
> = (die Differenz aus" ln unendlich" zur Summe aller
> Stammbrüche von 1/1 bis 1/unendlich).
> Kann ich die Berechnung als Nicht-studierter Mathematiker
> nachvollziehen ?
> Existiert eine schnell-iterative numerische (einfache)
> Berechnung ?
Hallo Reinholddaniel,
ich habe gerade festgestellt, dass du schon vor fast
drei Jahren nach dieser Konstante gefragt hast und von
Angela.h.b. auch eine Antwort bekommen hast. Offenbar
handelt es sich um eine Frage, die dich wirklich interessiert.
Natürlich ist die numerische Berechnung mittels Summen
mit sehr vielen Summanden der harmonischen Reihe
unpraktisch und absolut ungeeignet, um wirklich viele
Dezimalen der Konstanten zu berechnen.
Wie ![[]](/images/popup.gif) Lorenzo Mascheroni in seiner Arbeit, die eine
Ergänzung zu Eulers Untersuchung sein sollte, wirklich
vorgegangen ist, sieht man am besten im Originalwerk
"Adnotationes ad Calculum integralem Euleri"
Mit Erstaunen habe ich übrigens auf dem Titelblatt die
Bezeichnung
Auctore
LAURENTIO MASCHERONIO
in R. Archigymnasio Ticinensi Mathem. Prof.
Acad. Patavinae Ac. R. Mantuanae Socio
gelesen. Es scheint, dass damals Pavia (und Mantua ?)
zum Tessin gehörte.
Das Werk ist allerdings so wie damals üblich in Latein
verfasst, was die Lektüre nicht so ganz leicht macht.
Inhaltlich ist das Ganze wohl doch heute auch noch
etwas für "studierte Mathematiker".
Die Bedeutung der Konstanten grafisch zu veranschau-
lichen ist dagegen ganz leicht. Man zeichne die Zahlenfolge
[mm] [/mm] mit $\ [mm] a_n\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] als Säulen- bzw. Treppendiagramm auf.
Die Säule zum Summanden [mm] \frac{1}{n} [/mm] setzt man dabei auf
das Intervall [n ... n+1] der x-Achse eines Koordinatensystems.
Man lege ausserdem die Kurve k: $\ y\ =\ [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] durch die
oberen linken Ecken der Rechtecke. Die Euler-Mascheroni-Konstante
entspricht dann dem Flächeninhalt des aus unendlich vielen
Teilen bestehenden Gebiets, welches die Kurve von der
Treppenfläche "abschneidet".
Eine Fülle an Formeln und Links zum Thema findet man bei Wolfram:
Euler-Mascheroni Constant
LG Al-Chwarizmi
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> Wie haben Euler / Mascheroni die Zahl γ = 0,57721 56649
> 01532 86060 ...
> um 1734 / 1790 berechnet ?
> = (die Differenz aus" ln unendlich" zur Summe aller
> Stammbrüche von 1/1 bis 1/unendlich).
Das müsste man natürlich mittels des Grenzwertbegriffs
formulieren !
Hallo ,
die wichtigste Frage, die du gestellt hast, nämlich die nach
der konkreten Berechnungsweise der Konstanten, habe ich
noch gar nicht beantwortet. Jetzt habe ich in dem lateinischen
Text doch die Formel gefunden, die Mascheroni wohl für die
Berechnung diente. Sie steht auf der Seite 23 des Textes.
Mascheroni hat sie aufgrund einer Formel entwickelt, die
sein Zeitgenosse Gregorio Fontana aufgestellt hatte (falls
ich das richtig verstanden habe).
Fontanas und Mascheronis Formeln findet man auch in
diesem Abschnitt: Mascheroni Constant
Ganz am Schluss des Abschnitts steht der Anfang von
Mascheronis Reihenentwicklung:
[mm] $\gamma\ [/mm] =\ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{n}\ [/mm] =\ [mm] \tfrac12 [/mm] + [mm] \tfrac1{24} [/mm] + [mm] \tfrac1{72} [/mm] + [mm] \tfrac{19}{2880} [/mm] + [mm] \tfrac3{800} [/mm] + [mm] \dots$
[/mm]
Um das Ganze nachvollziehen zu können, muss man
sich natürlich noch um die genaue Regel für die Bildung
der einzelnen Summanden kümmern. Dazu braucht man
noch die im angegebenen Wiki-Artikel ebenfalls definierten
Gregory-Koeffizienten.
Man kann sich vorstellen, dass die Berechnung von 32
Dezimalen der Zahl zu jener Zeit, also ohne jegliche
Rechenhilfsmittel ausser vielleicht gewissen Hilfstabellen,
eine extrem aufwendige Angelegenheit gewesen sein
muss.
Im gedruckten Text sind übrigens drei der 32 Ziffern
falsch angegeben, nämlich die an den Stellen 20, 21 und
22 (hinter dem Dezimalkomma). Dass aber hinten noch
10 korrekte Dezimalen folgen, zeigt, dass Mascheroni
sicher das richtige Ergebnis hatte. Ich vermute sehr,
dass es sich bei dem "Druckfehler" gar nicht um ein
Versehen handelt, sondern um eine kleine Finte des
Zahlenkünstlers. Er wartete vielleicht schon verschmitzt
darauf, ob wirklich jemand die Mammut-Rechnerei nach-
vollziehen und den Fehler finden würde ... 
> Existiert eine schnell-iterative numerische (einfache)
> Berechnung ?
Man kann natürlich Mascheronis Algorithmus in ein
Computerprogramm umsetzen, mit rekursiver Berech-
nung der Gregory-Koeffizienten und in einer Programmier-
umgebung, die mit sehr langen Dezimaldarstellungen
überhaupt umgehen kann. Deutlich einfacher geht es
wohl nicht. Für wirklich schnelle Berechnungen von
sehr vielen Dezimalen werden aber bestimmt noch
ganz andere, ausgetüftelte Methoden benützt. Das ist
dann aber wirklich ein Gebiet für Numerik-Spezialisten.
LG Al-Chwarizmi
Korrektur:
Leider habe ich erst zu spät bemerkt, dass die oben
genannte Reihe viel zu langsam konvergiert, um für
die numerische Berechnung von Gamma wirklich
brauchbar zu sein.
Siehe meine Mitteilung !
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Hallo,
ich habe nun ein kleines Programm erstellt, um die
Berechnung von Gamma mittels der Reihe
[mm]\gamma\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{n}\ =\ \tfrac12 + \tfrac1{24} + \tfrac1{72} + \tfrac{19}{2880} + \tfrac3{800} + \dots[/mm]
nachzuvollziehen.
Beim Testlauf des Programms habe ich nun aber leider
festgestellt, dass die Konvergenz der Reihe doch sehr
viel langsamer ist als ich gedacht hatte. Auch die
Summation von 3000 Gliedern liefert erst fünf korrekte
Nachkommastellen von Gamma:
0.57721 21836 68..... anstatt 0.57721 56649 01.....
Es scheint also unmöglich, dass Mascheroni seine vielen
Dezimalstellen der Zahl wirklich mittels dieser Reihe
berechnet hat.
Die bessere Methode (viel schneller konvergierend) wird
weiter vorne in seinem Text (Seiten 11 bis 13) entwickelt.
Diese von Euler stammende Formel (in welcher die
Bernoulli-Zahlen benützt werden) und viele weitere
werden da gezeigt und z.T. erläutert:
Euler-Mascheroni constant (by Štefan Porubský)
LG Al-Chw.
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