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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 19.10.2005 | | Autor: | mimi02 |
Wer kann mir helfen???
2 Bäuerinnen tragen zusammen 100 Eier auf den Markt, eine mehr als die andere & doch verdienen beide gleich viel. Sagt die eine: Hätte ich deine eier, so hätte ich 15 kreuzer gelöst. Antwortet die andere: Hätte ich deine gehabt, so hätte ich 6 2/3 gelöst... Wie viele Eier hat jede gehabt?
Viele dank für eure hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Zuerst aber ein Hinweis auf unsere Forenregeln - wir sind hier keine Lösungsmaschine, die für jeden einfach die Aufgaben lösen, ohne dass die Leute mitdenken und mitarbeiten.
> 2 Bäuerinnen tragen zusammen 100 Eier auf den Markt, eine
> mehr als die andere & doch verdienen beide gleich viel.
> Sagt die eine: Hätte ich deine eier, so hätte ich 15
> kreuzer gelöst. Antwortet die andere: Hätte ich deine
> gehabt, so hätte ich 6 2/3 gelöst... Wie viele Eier hat
> jede gehabt?
Ich weiß nicht, wie man das mathematisch vernünftig aufschreibt - da müsstest du dir noch etwas einfallen lassen. 
zuerst gilt ja auf jeden Fall: x+y=100, wobei x und y die Anzahl der Eier sind. Nun kostet ein Ei bei den beiden wohl unterschiedlich viel, sonst könnten sie bei unterschiedlicher Menge wohl nicht genauso viel verdienen. Ich habe mal gesagt, a soll der Gesamtverdienst der Bäuerin, die x Eier verkauft sein, und b der der anderen. Dann soll ja gelten a=b. Wenn nun die x Eier zum Preis b verkauft werden, hätten wir die Gleichung [mm] \bruch{x}{b}=6\bruch{2}{3} [/mm] - und das Gleiche für den anderen Fall ergibt [mm] \bruch{y}{a}=15. [/mm] Nun hast du vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die du lösen kannst. Ich erhalte [mm] x=\bruch{400}{13}, y=\bruch{900}{13} [/mm] - was einem Verdienst von [mm] \bruch{60}{13} [/mm] pro Bäuerin entspricht.
Ich hoffe, das stimmt so - aber ich wüsste nicht, warum nicht, und ich wüsste dann auch nicht, wie man es anders machen sollte.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Mini,
Ich bezeichne mit [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] die Anzahl der Eier die Bäuerin1 und Bäuerin2 jeweils auf den tragen. Wichtig für meine Lösung ist das Verhältnis
[mm] $r=\frac{B_1}{B_2}$
[/mm]
zwischen den Eier-Anzahlen, d.h. wenn Bäuerin1 70 und Bäuerin2 30 Eier h"atte, wäre
[mm] $r$=$\frac{70}{30}$=$\frac{7}{3}$.
[/mm]
Dasselbe mache ich mit den Preisen pro Ei, die ich [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] nenne. Wiederum interessiere ich mich zunächst nur für das Verhältnis
[mm] $s=\frac{P_1}{P_2}$.
[/mm]
Gegeben im Text sind die Gleichungen
[mm] $B_1P_1=B_2P_2$,
[/mm]
[mm] $B_1{\cdot}P_2=15$ [/mm] und
[mm] $B_2{\cdot}P_1=6\frac{2}{3}=\frac{20}{3}$.
[/mm]
Jetzt kommt ein kleiner Trick.
In der ersten Gleichung bringen wir alles auf die linke Seite und erhalten
[mm] $\frac{B_1P_1}{B_2P_2}=1$,
[/mm]
was in $r$ und $s$ bedeutet:
[mm] $r{\cdot}s=1$.
[/mm]
Wenn wir die zweite und die dritte Gleichung durcheinander teilen, bekommen wir
[mm] $\frac{B_1P_2}{B_2P_1}=\frac{15\cdot3}{20}=\frac{9}{4}$.
[/mm]
Die linke Seite ist jedoch
[mm] $\frac{B_1}{B_2}\cdot\frac{P_2}{P_1}=\frac{r}{s}$.
[/mm]
Wir wissen also jetzt, dass
[mm] $r{\cdot}s=1$ [/mm] und [mm] $\frac{r}{s}=\frac{9}{4}$.
[/mm]
Wenn wir diese Aussagen miteinander multiplizieren, erhalten wir
[mm] $r^2=\frac{9}{4}$, [/mm] d.h. [mm] $r=\frac{3}{2}$, [/mm] weil $r$ nicht negativ sein kann.
Also hat Bäuerin1 eineinhalb mal so viele Eier wie B"auerin2. Das geht nur, wenn die erste 60 und die zweite 40 Eier mit auf den Markt gebracht hat. Ihre Eierpreise kannst du nun auch bestimmen.
Diese L"osung kommt dir sicher sehr abgedreht vor. Deshalb noch ein kleiner Gag zum Schluss: wenn du wissen willst, wieviel beide Bäuerinnen verdient haben, dann berechnest du
[mm] $\sqrt{15\cdot6\frac{2}{3}}$=10 [/mm] Kreuzer.
(Die erste verlangt für 6 Eier einen Kreuzer, die zweite für 4 Eier. Dadurch würde die zweite für 60 Eier 15 Kreuzer, die erste für 40 Eier nur 6 2/3 Kreuzer bekommen.)
Hoffentlich erschlägt dich diese Lösung jetzt nicht. Du darfst dir aber gerne eine andere (einfachere) überlegen. 
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Do 20.10.2005 | | Autor: | mimi02 |
für eure Hilfe... =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 20.10.2005 | | Autor: | mimi02 |
Ich verstehe das soweit bsi zu dem Punkt, wo du alles = 1 setzt... Warum tust du das?
Ist wahrscheinlich total einfach, aber ich bin einfach die absolute Mathelusche und total dankbar für eure Hilfe!!
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Hallo Mimi (ich hab dich vorhin aus Versehen etwas anders genannt),
ich setze natürlich nicht alles gleich 1.
Also gleich vorweg, mein Weg ist ziemlich unkonventionell, deshalb eventuell schwer nachzuvollziehen.
Die Idee ist dabei folgende: beide Bäuerinnen verdienen gleich viel, so dass die Bäuerin mit mehr Eiern einen entsprechend niedrigeren Preis verlangt. (Hätte sie doppelt so viele Eier wie die andere, würde sie nur den halben Preis fordern.)
Die erste Bäuerin verdient ursprünglich [mm] $B_1P_1$, [/mm] die zweite [mm] $B_2P_2$.
[/mm]
Beide verdienen gleichviel, so dass der Bruch
[mm] $\frac{B_1P_1}{B_2P_2}=1$. [/mm] (Die einzige 1 )
Dann bieten sie gedanklich die Eier der anderen zu ihrem eigenen Preis an. Mit [mm] $B_2P_1=15$ [/mm] und [mm] $B_1P_2=\frac{20}{3}$ [/mm] ergibt das das Verhältnis
[mm] $\frac{B_2P_1}{B_1P_2}=\frac{45}{20}=\frac{9}{4}$.
[/mm]
Jetzt kommt der eigentliche Clou.
Wir multiplizieren beide Gleichungen und erhalten
[mm] $(\frac{P_1}{P_2})^2=\frac{9}{4}$.
[/mm]
Wir dividieren beide Gleichungen und erhalten
[mm] $(\frac{B_1}{B_2})^2=\frac{4}{9}$.
[/mm]
Das bedeutet: [mm] $B_1=\frac{2}{3}B_2$.
[/mm]
(Ich glaube, Bastiane hat vergessen, die Wurzel zu ziehen, daher die Zahl 13.)
100 Eier sind somit [mm] $\frac{5}{3}B_2$, [/mm] du kannst daraus [mm] $B_2$ [/mm] berechnen.
Ich kann dir bei Bedarf morgen auch eine normalere Lösung anbieten, wenn die diese zu kompliziert ist. Die Größen $r$ und $s$ von vorher waren nur als Hilfe gedacht, es geht aber auch ohne.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 21.10.2005 | | Autor: | mimi02 |
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!
Aber ich habe diesen "Clou" noch nicht ganz verstanden! Warum dividieren wir das alles und multiplizieren wir das?? Und warum ist das =1? Fragen über Fragen... ich hoffe, du hast die Nerven!!
Danke
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Also Bauerin 1 und Bauerin 2 haben zusammen 100 Eier.
somit x + y = 100
Bauerin 1 hat mit einer bestimmten Anzahl Eiern (a) genauso viel gemacht wie Bauerin 2 mit ihrer Anzahl (b). Daraus folgt:
ax = by
Bauerin 2 hätte mit den Anzahl der Bäuerin 1 15 Kreuzer gemacht. Also:
ay = 15 oder a = 15/y (y ist ungleich 0)
Bauerin 1 hätte mit den Anzahl der Bäuerin 2 6 2/3 Kreuzer gemacht. Also:
bx = 6 2/3 oder b = 20/(3x) (x ungleich 0)
das setze ich in ax= by ein
dann steht da:
(15/y) *x = (20/3x) *y
durch Umformen erhalte ich
[mm] x=\wurzel{4y^2/9}.
[/mm]
Das setze ich in x+y= 100 ein
[mm] y+\wurzel{4y^2/9}=100
[/mm]
Wurzel aufflösen. ACHTUNG: 2 Werte bei Wurzel
y + 2y/3 = 100 v y - 2y/3= 100
3y+2y = 300 v 3y-2y = 300
y = 60 oder y = 300 (Bei 100 Eiern ingesamt nicht möglich)
Also eine Bauerin hat 60 die andere 40 EIer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 22.10.2005 | | Autor: | mimi02 |
hi eddy!
Meinst du mit umformung, dass du für x =100-y einsetzt??
Ein schönes wochenende
mimi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen mimi!
> Meinst du mit umformung, dass du für x =100-y einsetzt??
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein! Die angesprochene Umformung betraf diese Gleichung:
[mm] $\bruch{15}{y} [/mm] *x \ = \ [mm] \bruch{20}{3x} [/mm] *y$
Diese wurde durch [mm] $\left| \ * \bruch{y}{15} \ *x$ umgestellt zu:
$x^2 \ = \ \bruch{20}{3} *y*\bruch{y}{15} \ = \ \bruch{4}{9}*y^2$
$x \ = \ \pm \ \wurzel{\bruch{4}{9}*y^2} \ = \ \pm \ \bruch{2}{3}*y$
Dieser Ausdruck wurde nun in die Gleichung $x+y \ = \ 100$ eingesetzt.
Gruß
Loddar
[/mm]
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