Euler umwandeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 26.08.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe der eulerschen Formel
sin [mm] (\omega0 [/mm] t) * cos [mm] (\omega1 [/mm] t) |
sin [mm] (\omega0 [/mm] t) cos [mm] (\omega1 [/mm] t)
= [mm] \bruch{1}{2j} (e^{j\omega0t} [/mm] - [mm] e^{-j\omega0t}) \bruch{1}{2} (e^{j\omega1t} [/mm] + [mm] e^{-j\omega1t})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)} [/mm] + [mm] e^{jt(\omega0-\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0-\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0+\omega1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0+\omega1)} [/mm] + [mm] e^{jt(\omega0-\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0-\omega1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [\bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0+\omega1)}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0-\omega1)} [/mm] - [mm] e^{-jt(\omega0-\omega1)})]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin [mm] (\omega0+\omega1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin [mm] (\omega0-\omega1)
[/mm]
Töffte ^^ sieht für mich so aus als ob alles passt.
Soll aber angeblich 2j sin [mm] (\omega0+\omega1) [/mm] + 2j [mm] (\omega0-\omega1) [/mm] raus kommen. Keine Ahnung wie man darauf kommt.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Di 26.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie mit Hilfe der eulerschen Formel
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> sin [mm](\omega0[/mm] t) * cos [mm](\omega1[/mm] t)
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> sin [mm](\omega0[/mm] t) cos [mm](\omega1[/mm] t)
>
> = [mm]\bruch{1}{2j} (e^{j\omega0t}[/mm] - [mm]e^{-j\omega0t}) \bruch{1}{2} (e^{j\omega1t}[/mm]
> + [mm]e^{-j\omega1t})[/mm]
Die Umwandlung ist korrekt.
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)}[/mm] +
> [mm]e^{jt(\omega0-\omega1)}[/mm] - [mm]e^{-jt(\omega0-\omega1)}[/mm] -
> [mm]e^{-jt(\omega0+\omega1)})[/mm]
Hier hast du meiner Meinung nach zu viele Schritte auf einmal gemacht, und dich dadurch verrannt
[mm]\frac{1}{2j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}-e^{-j\omega_{0}t}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(e^{j\omega_{1}t}+e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{2j}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}-e^{-j\omega_{0}t}\right)\cdot\left(e^{j\omega_{1}t}+e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}\cdot e^{j\omega_{1}t}+e^{j\omega_{0}t}\cdot e^{-j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t}\cdot e^{j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t}\cdot e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t+j\omega_{1}t}+e^{j\omega_{0}t-j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t+j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{jt(\omega_{0}+\omega_{1})}+e^{jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{jt(-\omega_{0}+\omega_{1})}-e^{jt(-\omega_{0}-j\omega_{1})}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{jt(\omega_{0}+\omega_{1})}+e^{jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{-jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{-jt(\omega_{0}+j\omega_{1})}\right)[/mm]
Nun wieder du.
Marius
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Hallo Marius,
> Hallo
>
> > Berechnen Sie mit Hilfe der eulerschen Formel
> >
> > sin [mm](\omega0[/mm] t) * cos [mm](\omega1[/mm] t)
> >
> > sin [mm](\omega0[/mm] t) cos [mm](\omega1[/mm] t)
> >
> > = [mm]\bruch{1}{2j} (e^{j\omega0t}[/mm] - [mm]e^{-j\omega0t}) \bruch{1}{2} (e^{j\omega1t}[/mm]
>
> > + [mm]e^{-j\omega1t})[/mm]
>
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> Die Umwandlung ist korrekt.
>
> >
> > = [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)}[/mm] +
> > [mm]e^{jt(\omega0-\omega1)}[/mm] - [mm]e^{-jt(\omega0-\omega1)}[/mm] -
> > [mm]e^{-jt(\omega0+\omega1)})[/mm]
>
> Hier hast du meiner Meinung nach zu viele Schritte auf
> einmal gemacht, und dich dadurch verrannt
>
> [mm]\frac{1}{2j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}-e^{-j\omega_{0}t}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(e^{j\omega_{1}t}+e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2j}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}-e^{-j\omega_{0}t}\right)\cdot\left(e^{j\omega_{1}t}+e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t}\cdot e^{j\omega_{1}t}+e^{j\omega_{0}t}\cdot e^{-j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t}\cdot e^{j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t}\cdot e^{-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{j\omega_{0}t+j\omega_{1}t}+e^{j\omega_{0}t-j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t+j\omega_{1}t}-e^{-j\omega_{0}t-j\omega_{1}t}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{jt(\omega_{0}+\omega_{1})}+e^{jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{jt(-\omega_{0}+\omega_{1})}-e^{jt(-\omega_{0}-j\omega_{1})}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4j}\cdot\left(e^{jt(\omega_{0}+\omega_{1})}+e^{jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{-jt(\omega_{0}-\omega_{1})}-e^{-jt(\omega_{0}+j\omega_{1})}\right)[/mm]
Hier und in der Zeile vorher ist in der Klammer im letzten Exponenten ein j zuviel, oder?
Worin genau unterscheidet sich dein Term von dem des Fragestellers? Ich erkenne das nicht. Möglicherweise sehe ich die ganzen Indizes nicht richtig, aber ich kann keinen Unterschied feststellen ...
>
> Nun wieder du.
>
> Marius
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 26.08.2014 | | Autor: | TorbM |
Kann auch keinen Unterschied entdecken.
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2j} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}j [/mm]
kann ich aber doch auch als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2j} [/mm] stehen lassen oder ? Dann seh ich später direkt wie ich es wieder in sin oder cos schreibe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 26.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie mit Hilfe der eulerschen Formel
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> sin [mm](\omega0[/mm] t) * cos [mm](\omega1[/mm] t)
>
> sin [mm](\omega0[/mm] t) cos [mm](\omega1[/mm] t)
>
> = [mm]\bruch{1}{2j} (e^{j\omega0t}[/mm] - [mm]e^{-j\omega0t}) \bruch{1}{2} (e^{j\omega1t}[/mm]
> + [mm]e^{-j\omega1t})[/mm]>
> = [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)}[/mm] +
> [mm]e^{jt(\omega0-\omega1)}[/mm] - [mm]e^{-jt(\omega0-\omega1)}[/mm] -
> [mm]e^{-jt(\omega0+\omega1)})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)}[/mm] -
> [mm]e^{-jt(\omega0+\omega1)}[/mm] + [mm]e^{jt(\omega0-\omega1)}[/mm] -
> [mm]e^{-jt(\omega0-\omega1)})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2} [\bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0+\omega1)}[/mm] -
> [mm]e^{-jt(\omega0+\omega1)})[/mm] + [mm]\bruch{1}{2j} (e^{jt(\omega0-\omega1)}[/mm]
> - [mm]e^{-jt(\omega0-\omega1)})][/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sin [mm](\omega0+\omega1)[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sin [mm](\omega0-\omega1)[/mm]
Jetzt ganz zum Schluss hast du das t verloren, ansonsten passt deine Umformung. Du kannst das ja auch ganz leicht überprüfen, indem du das Additionstheorem
[mm] $sin(x)+sin(y)=2*sin\left({\br{x+y}{2}}\right)*cos\left({\br{x-y}{2}}\right)
[/mm]
auf dein Ergebnis anwendest - du erhältst sofort wieder die Angabe.
Hast du die Angabe wirklich richtig wiedergegeben? Denn die Formulierung "Berechne" ist hier nicht wirklich sinnvoll und sagt nichts darüber aus, wie du den Ausdruck umformen sollst.
> Töffte ^^ sieht für mich so aus als ob alles passt.
> Soll aber angeblich 2j sin [mm](\omega0+\omega1)[/mm] + 2j
> [mm](\omega0-\omega1)[/mm] raus kommen. Keine Ahnung wie man darauf
> kommt.....
Ich bin mir ziemlich sicher, dass du diesen angeblichen Lösungsausdruck hier auch ganz und gar nicht richtig wiedergegeben hast. So wie du das angegeben hast ist es jedenfalls ganz sicher nicht ein zur Angabe äquivalenter Term.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 26.08.2014 | | Autor: | TorbM |
Stimmt das t einfach noch in die Klammer sin [mm] (t(\omega.....)
[/mm]
Die Aufgabenstellung ist Murks, ist aber immer in der Mathe Klausur enthalten....E-Technik halt einfach mit euler rumjonglieren.
Laut meinem Prof kommt dort 2j sin (omega 1 + omega2) + 2j sin (omega1 - omega2) raus....werd wohl nochmal nachfragen wenn ich ihn erwische.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Di 26.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Stimmt das t einfach noch in die Klammer sin
> [mm](t(\omega.....)[/mm]
> Die Aufgabenstellung ist Murks, ist aber immer in der
> Mathe Klausur enthalten....E-Technik halt einfach mit euler
> rumjonglieren.
>
> Laut meinem Prof kommt dort 2j sin (omega 1 + omega2) + 2j
> sin (omega1 - omega2) raus....werd wohl nochmal nachfragen
> wenn ich ihn erwische.
Schon wieder ganz ohne t?
Also, wenn im Endergebnis schon die imaginäre Einheit unbedingt rein soll, dann bestenfalls mit [mm] $\sin(x)=-i*\sinh(i*x)$
[/mm]
Frag also lieber nochmal nach.
Gruß RMix
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