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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 26.06.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
ich noch nie etwas zu Differentialgleichung gehört, soll aber seltsamerweise etwas dazu beweisen:
Zunächst einmal ist ja eine Funktion homogen, wenn gilt: [mm] g(tx)=t^{a}x
[/mm]
Zu zeigen ist:
Eine Funktion [mm] g:\IR^n \rightarrow \IR [/mm] \ {0} ist genau dann homogen, wenn gilt:
[mm] x_1\bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(x)}{\partial x_n}=ag(x)
[/mm]
(für alle positiven t und alle x ohne 0)
Zunächst zu =>:
Das hab ich bereits !
Zu <=:
Hier sollte man [mm] t^{-a}g(tx_1,...,tx_n) [/mm] partiell nach t differenzieren. Was das bringt weiß ich nicht...
mfg
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Hallo Pollux,
bei der Def. der Homogenität ist Dir wohl ein Schreibfehler unterlaufen, es muß heißen
> Zunächst einmal ist ja eine Funktion homogen, wenn gilt:
[mm] g(tx)=t^{a} [/mm] g(x)
> Zu zeigen ist:
> Eine Funktion [mm]g:\IR^n \rightarrow \IR[/mm] \ {0} ist genau dann
> homogen, wenn gilt:
> [mm]x_1\bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(x)}{\partial x_n}=ag(x)[/mm]
>
> (für alle positiven t und alle x ohne 0)
>
"<=="
> Hier sollte man [mm]t^{-a}g(tx_1,...,tx_n)[/mm] partiell nach t
> differenzieren. Was das bringt weiß ich nicht...
Ich hab's einfach mal getan, das war klasse! Paß auf:
Def. [mm] G(t):=t^{-a}g(tx_{1},...,tx_{n}).
[/mm]
Nun ableiten (verallgem. Kettenregel). Das liefert
G'(t)
[mm] =-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}([/mm] [mm]x_1\bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(x)}{\partial x_n}[/mm])
[mm] =-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}t^{-1}(ag(tx)) [/mm] (Voraussetzung verwendet)
=0
Aha. G'(t)=0!
Hieraus kann man ganz gut seine Schlüsse ziehen...
Viel Erfolg
Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
so ganz kann ich deine Rechnung noch nicht nachvollziehen, und welche Schlüsse man am Ende aus G'(x)=0 ziehen kann weiß ich auch nicht.
Es muss doch
[mm] x_1\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_n} [/mm] heißen.
Könntest du bitte die folgende Rechnung bisschen weiter ausführen?
Danke schön
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> Hi,
> so ganz kann ich deine Rechnung noch nicht nachvollziehen,
> und welche Schlüsse man am Ende aus G'(x)=0 ziehen kann
> weiß ich auch nicht.
Hallo Pollux,
> Es muss doch
> [mm]x_1\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_n}[/mm]
> heißen.
da hast Du völlig recht. Der zweite Term hinterm Gleichheitszeichen ist so, wie Du schreibst. Ich hab' wohl die t beim Kopieren vergessen.
Das hätten wir also geklärt, und es tut mir leid, falls Dich das viele Gedanken gekostet haben sollte.
Jetzt zum G'(t)=0.
Vergiß mal kurz die partiellen Ableitungen und so. G hängt von einer Variablen ab, von t.
Was sind das für Funktionen, deren Ableitung überall =0 sind? Die konstanten Funktionen.
Also ist G konstant, somit G(t)=G(1) für alle t.
Nun guck bei der Def. von G: [mm] t^{-1}g(tx)=G(t)=G(1)=g(x).
[/mm]
Da haben wir's!
Gruß v. Angela
> Könntest du bitte die folgende Rechnung bisschen weiter
> ausführen?
> Danke schön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 28.06.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
ok, mir ist jetzt bis auf eine Stelle alles klar...
Und zwar geht es um folgenden Schritt:
Wenn ich die Vorraussetzung anwende folgt gilt doch
[mm] =-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}(x_1\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_n})
[/mm]
[mm] =-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}(ag(tx)).
[/mm]
Bei dir steht nämlich:
[mm] =-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}t^{-1}(ag(tx))
[/mm]
Wo kommt bei dir das [mm] t^{-1} [/mm] her.
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> Hi,
> ok, mir ist jetzt bis auf eine Stelle alles klar...
Fein!
>
> Bei dir steht nämlich:
> [mm]=-at^{-a-1}g(tx_{1},...,tx_{n})+t^{-a}t^{-1}(ag(tx))[/mm]
> Wo kommt bei dir das [mm]t^{-1}[/mm] her.
Das kommt so: es ist ja [mm] g(x):=(x_1\bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}+x_2\bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}+...+x_n\bruch{\partial g(x)}{\partial x_n}).
[/mm]
Statt [mm] x=(x_{1},...,x_{n}) [/mm] haben wir es jetzt aber mit [mm] tx=(x_{1}t,...,x_{n}t) [/mm] zu tun.
Da muß man die Vorschrift natürlich auf tx anwenden und man erhält
[mm] g(tx):=(tx_1\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_1}+tx_2\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_2}+...+tx_n\bruch{\partial g(tx)}{\partial x_n})
[/mm]
Ich hab' an der Stelle, die Dir nicht geheuer ist, die Klammer mit t multipliziert und mußte dann im Gegenzug dividieren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 03.07.2005 | | Autor: | Pollux |
OK ich bin durch! Vielen Dank für deine Unterstützung 
mfg
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