Eulersche Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 So 29.04.2007 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Berechne mit Hilfe der Eulerschen Summenformel:
[mm] 1+1/4+...+1/n^2 [/mm] |
Guten Abend!
Unser Prof. hat die Eulersche Summenformel so eingeführt:
[mm] f(0)+f(1)+...+f(n)=\integral_{0}^{n}{f(x) dx}+\bruch{f(0)+f(n)}{2}+\integral_{0}^{n}{B_{1} f'(x) dx}, [/mm] wobei [mm] B_{1}=x-\bruch{1}{2}, 0\le [/mm] x [mm] \le1, [/mm] und [mm] B_{1}(x+k)=B_{1}(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IZ
[/mm]
Mein Problem liegt darin:
Wenn ich dieses Integral mit [mm] B_{1}=x-\bruch{1}{2} [/mm] berechne [mm] (f(x)=\bruch{1}{1+x}, [/mm] Integralgrenzen entsprechend geändert, damit ich auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] komme) dann gilt das ja nur für x zwischen 0 und 1. Dieses Problem kann ich mit der Gauss-Klammer umgehn, also mit [mm] x-[x]-\bruch{1}{2}. [/mm] Aber wie integrier ich diesen Term dann, oder sollte ich diese endliche Summe ja sowieso nur näherungsweise berechnen (obwohl ich glaube, dass es eine einfach Möglichkeit gibt-die ich gerade übersehe-, diese Summe mit der Eul. Summenformel exakt zu berechnen, denn sonst wäre sie ja wohl kaum so berühmt)?
Hoffentlich hat jemand eine Antwort für mich. Bin echt schon gespannt. Bin für jede Hilfe dankbar. Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Di 01.05.2007 | | Autor: | Manabago |
Hat noch niemand von der Eulerschen Summenformel gehört...? Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Manabago |
So, ein letztes Mal versuch ichs noch. Vielleicht ist ja jetzt jemand hier, der mir helfen kann :). Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 02.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst denk ich das Integral einfach aufteilen, weil sich ja B1 immer wiederholt, nur periodisch 1 nach rechts und damit auch 1 nach unten verschoben.
wie du auf f(x)=1/(1+x) kommst ist mir noch unklar, um die Reihe als Summe f(i) zu schreiben, brauchst du doch
[mm] f(x)=\bruch{1}{(1+x)^2} [/mm] und in dem Integral noch mal die Ableitung dazu.
[mm] \integral_{0}^{n}{B1(x)f'(x) dx}=\summe_{i=0}^{n}\integral_{i}^{i+1}{(x-0,5*(2i+1))f'(x) dx}
[/mm]
Was die Aufgabe soll versteh ich nicht, weil man ja eine Summe durch ne andere ersetzt, die mir nicht leichter scheint. heisst die Aufgabe wirklich so?
Gruss leduart
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Ja, die Aufgabe heißt wirklich so! Und es soll natürlich [mm] 1/(1+x)^2 [/mm] heißen, sorry. Das Integral aufzuteilen kam uns auch schon in den Sinn. Aber ich glaube nicht, dass die Aufgabe so gemeint ist, da man dann ja eine Summe hat, die - wie du schon bemerkt hast - nicht einfacher ist.
Naja, ich werd mal den Prof. fragen. Auf alle Fälle danke für deine Hilfe.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 04.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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