Eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo :)
meine Kommilitonen und ich sitzen gerade daran die Eulersche Zahl zu verstehen. Die Definition von e (![[]](/images/popup.gif) nach Wikipedia):
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
durch wolframalpha sind wir aber zu folgenden Ergebnissen gekommen:
a.) [mm] e^{a} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{c+n} [/mm] mit a,b,c beliebige [mm] \in \IR
[/mm]
und
b.) 1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n^d})^{c+n} [/mm] mit a,b,c,d beliebige [mm] \in \IR [/mm] für d > 1
Da wir diese Regeln aber nur durch ausprobieren herausgefunden haben, ist unsere Frage ob diese Regeln überhaupt exestieren. Und wie man das beweisen könnte.
Wir hoffen das uns einer helfen kann und bedanken uns im voraus.
P. S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo :)
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> meine Kommilitonen und ich sitzen gerade daran die
> Eulersche Zahl zu verstehen. Die Definition von e
> (nach Wikipedia):
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> e = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> durch wolframalpha sind wir
> aber zu folgenden Ergebnissen gekommen:
>
> a.) [mm]e^{a}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{c+n}[/mm]
> mit a,b,c beliebige [mm]\in \IR[/mm]
>
> und
>
> b.) 1 =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n^d})^{c+n}[/mm]
> mit a,b,c,d beliebige [mm]\in \IR[/mm] für d > 1
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> Da wir diese Regeln aber nur durch ausprobieren
> herausgefunden haben, ist unsere Frage ob diese Regeln
> überhaupt exestieren. Und wie man das beweisen könnte.
Hallo informatik-student,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
um zum Beispiel die erste der Gleichungen zu bestätigen,
könnte man von der Limesvariablen n durch einfache
Transformationen zu anderen Limesvariablen übergehen.
Ich setzte etwa zunächst
$\ h:=c+n$
und nachher
[mm] k:=\frac{b+h-c}{a}
[/mm]
(für den Fall [mm] a\not=0 [/mm] ; für a=0 kann man leicht eine
Nebenbetrachtung machen)
Durch ein paar weitere Schritte kann man zum
Ergebnis [mm] e^{a} [/mm] kommen.
Dies will ich aber nicht im Detail ausführen, sondern
überlasse dies eurem Team !
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi,
wir danke dir vielmals für deine Antwort und glauben zu wissen wie du es meintest:
für a.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{b + n})^{c+n}
[/mm]
h := c + n
[mm] \Rightarrow \limes_{n,h\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{b + n})^{h}
[/mm]
m := b + n
[mm] \Rightarrow \limes_{n,h,m\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{m})^{h} [/mm] = [mm] e^{a}
[/mm]
Ist wirklich das was du meintest? Reicht das als Beweis? Entschuldige bitte unsere Unwissenheit, aber wir scheinen echt ein wenig Ratlos. Und hoffe das du uns noch ein Hinweis geben kannst.
Man könnte dieses Verfahren auch für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{b + n})^{c+n^{5}} [/mm] Anwenden. Welches Offensichtlich nicht [mm] e^{a} [/mm] ist.
Ich hoffe du nimmst es uns nicht übel. Vielleicht kannst du uns noch ein Hinweis geben, wonach wir suchen müssen. LG
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> wir danke dir vielmals für deine Antwort und glauben zu
> wissen wie du es meintest:
>
> für a.)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{a}{b + n})^{c+n}[/mm]
>
> h := c + n
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n,h\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{a}{b + n})^{h}[/mm]
Hier kann man auf die alte Variable n ganz verzichten
und schreiben:
[mm]\limes_{h\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{a}{b + h-c})^{h}[/mm]
Dann habe ich vorgeschlagen: $\ [mm] k:=\frac{b+h-c}{a}$ [/mm]
Damit hat man im Fall a>0 :
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k*a+c-b}[/mm]
was man zerlegen kann in:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k*a}\ *\ \underbrace{\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{c-b}}_1[/mm]
$\ [mm] =\left(\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ [/mm] +\ [mm] \bruch{1}{k})^{k}\right)^{a}\ [/mm] =\ [mm] e^{a}$
[/mm]
Die Fälle a<0 und a=0 betrachtet man separat.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:27 Do 27.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Al,
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{a}{b + h-c})^{h}[/mm]
>
> Dann habe ich vorgeschlagen: [mm]\ k:=\frac{b+h-c}{a}[/mm]
>
> Damit hat man im Fall a>0 :
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k*a+h-c}[/mm]
Dies ist wohl ein Tippfehler. Das $h$ muß ja auch ersetzt werden. Ich denke, es müßte so heißen:
[mm] $\lim_{k\to\infty}(1+1/k)^{ka+c-b}$.
[/mm]
Entsprechend im Rest.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 06:19 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
> Hallo Al,
>
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{a}{b + h-c})^{h}[/mm]
>
> > Dann habe ich vorgeschlagen: [mm]\ k:=\frac{b+h-c}{a}[/mm]
> >
> > Damit hat man im Fall a>0 :
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k*a+h-c}[/mm]
>
> Dies ist wohl ein Tippfehler. Das [mm]h[/mm] muß ja auch ersetzt
> werden. Ich denke, es müßte so heißen:
>
> [mm]\lim_{k\to\infty}(1+1/k)^{ka+c-b}[/mm].
>
> Entsprechend im Rest.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Guten Tag Wolfgang,
danke für den Hinweis. In meiner handschriftlichen
Notiz war alles OK. Warum ich es auf Anhieb nicht
fertig gebracht habe, das richtig abzutippen, ist mir
nicht ganz klar ...
LG, Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Guten Morgen Al,
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k*a}\ *\ \underbrace{\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{c-b}}_1[/mm]
>
> [mm]\ =\left(\limes_{k\rightarrow\infty}(1\ +\ \bruch{1}{k})^{k}\right)^{a}\ =\ e^{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier wäre noch $\limes_{k\to\infty}(1\ +1/k})^{k}=e$ zu begründen. Dies ist nicht offensichtlich, da die $k$ im allgemeinen eine Folge reeller Zahlen durchlaufen, die gegen unendlich strebt. Offensichtlich ist dies aber nur für natürliche $k$, da dann die Folge $\left((1\ +1/k})^{k}\right)_{k}$ eine Teilfolge von $\bigl((1+1/n})^{n}\bigr)_{n\in\IN}$ ist.
Und dann verwendest Du noch die Stetigkeit der Potenzfunktion $x\mapsto x^a$ in $e$. Dies ist nicht falsch, sollte aber erwähnt werden.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Informatikergruppe,
> Hallo :)
>
>
> a.) [mm]e^{a}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{c+n}[/mm]
> mit a,b,c beliebige [mm]\in \IR[/mm]
Hier würde ich auch das ganze so schreiben:
[mm] (1+\bruch{a}{b+n})^{c+n}=(1+\bruch{a}{b+n})^{c}*(1+\bruch{a}{b+n})^{n}
[/mm]
Bilde nun den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{c}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{n}=1^c*e^a=e^a
[/mm]
Wobei man eventuell noch zeigen sollte, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n})^{n}=e^a [/mm] gilt.
>
> und
>
> b.) 1 =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n^d})^{c+n}[/mm]
> mit a,b,c,d beliebige [mm]\in \IR[/mm] für d > 1
Mit ähnlicher Begründung könnte man das c wieder "loswerden". Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{b+n^d})^{n}=1 [/mm] ist.
Das überlasse ich aber den Pro's dieses Forums!
>
> Da wir diese Regeln aber nur durch ausprobieren
> herausgefunden haben, ist unsere Frage ob diese Regeln
> überhaupt exestieren. Und wie man das beweisen könnte.
>
> Wir hoffen das uns einer helfen kann und bedanken uns im
> voraus.
>
> P. S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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