Eulersche Zahl Abschätzung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 03.07.2012 | | Autor: | eps |
Ich suche einen Beweis dafür, dass
[mm] e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
Kann mir da vielleicht jemand ein Buch vorschlagen, wo ich den Beweis finde?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich suche einen Beweis dafür, dass
> [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
Wenn das für fast alle n gelten sollte, so ist das falsch.
Aus [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}}[/mm] folgt nämlich
[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}
Für n [mm] \to \infty [/mm] ergibt sich 1 [mm] \le [/mm] 0.
FRED
> Kann mir da vielleicht jemand ein Buch vorschlagen, wo ich
> den Beweis finde?
>
> Danke schonmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 03.07.2012 | | Autor: | eps |
Ja du hast recht. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich will zeigen, dass
[mm] e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja du hast recht. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen.
> Ich will zeigen, dass
> [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
[mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm] [mm] \gdw e^n> \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 03.07.2012 | | Autor: | eps |
nein, das hilft mir leider auch nicht weiter. gibt es denn kein buch, wo ich den beweis finde?
Vielleicht kann ich verwenden, dass [mm] e=\summe_{k=0}^{infty} \bruch{1}{k!} [/mm] ist?
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Hallo,
[mm] e^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
Damit sollte es klappen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 03.07.2012 | | Autor: | eps |
also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
wir haben
[mm] e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n
[/mm]
aber ich will ja
[mm] e^n>\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
Stimmt das überhaupt, dass [mm] e^n>(1+\bruch{1}{n})^n? [/mm] wir wissen, dass [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}). [/mm] Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch, denn der Limes geht für n gegen [mm] \infty [/mm] ja gegen 1 und [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] ist größergleich 1....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
> wir haben
> [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n[/mm]
>
> aber ich will ja
> [mm]e^n>\bruch{n^n}{n!}[/mm]
>
> Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
>
> Stimmt das überhaupt, dass [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n?[/mm]
> wir
> wissen, dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}).[/mm]
> Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch,
> denn der Limes geht für n gegen [mm]\infty[/mm] ja gegen 1 und
> [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] ist größergleich 1....
Es ist [mm] e^x=1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+.....+\bruch{x^n}{n!}+\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+ [/mm] ....
Für x>0 ist also
[mm] e^x>\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
Setze jetzt x=n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Di 03.07.2012 | | Autor: | eps |
dankeschön! das hilft mir wirklich weiter!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 04.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
> wir haben
> [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n[/mm]
>
> aber ich will ja
> [mm]e^n>\bruch{n^n}{n!}[/mm]
>
> Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
>
> Stimmt das überhaupt, dass [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n?[/mm]
Ja , das stimmt, denn [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] <e für alle n.
> wir
> wissen, dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}).[/mm]
Nein, es ist [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.[/mm]
FRED
> Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch,
> denn der Limes geht für n gegen [mm]\infty[/mm] ja gegen 1 und
> [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] ist größergleich 1....
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