Eulerverfahren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung [mm] $y'=\frac{y^{2}}{x^{2}}$.
[/mm]
Lösen Sie die Differentialgleichung numerisch mit dem Eulerverfahren. Berechnen sie [mm] y(x_{e}) [/mm] unter Anfangsbedingung $y(1)=-1)$. Wählen Sie die Schrittweite h=0.1 .
Vergleichen Sie [mm] $y(x_{e})$ [/mm] mit dem exakten Wert. |
Guten Abend,
um numerisch zu integrieren benötige ich ja x, y(x), y'(x) und [mm] y'(x)\cdot [/mm] h.
gegeben sind anfangs $x =1$ und anfangs $y(x) = -1$ ... dann wäre erstes $y'(x) = 1$ und erstes $y'(x) [mm] \cdot [/mm] h = 0.1$; zweites $y=0.9$ zweites [mm] $y'(x)=\frac{.9^{2}}{.2^{2}}$ [/mm] und so weiter... also im dritten schritt wäre $x=0.3$ und so weiter...
stimmt meine Vorgehensweise??
exakter Wert:
[mm] $\integral{\frac{1}{y}dy}=\integral{\frac{1}{x}dx}$ [/mm]
ergibt als allgemeine Lösung: [mm] $y=x+\frac{1}{C}$ [/mm]
stimmt diese allgemeine Lösung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> Gegeben ist die Differentialgleichung
> [mm]y'=\frac{y^{2}}{x^{2}}[/mm].
>
> Lösen Sie die Differentialgleichung numerisch mit dem
> Eulerverfahren. Berechnen sie [mm]y(x_{e})[/mm] unter
> Anfangsbedingung [mm]y(1)=-1)[/mm]. Wählen Sie die Schrittweite
> h=0.1 .
> Vergleichen Sie [mm]y(x_{e})[/mm] mit dem exakten Wert.
> Guten Abend,
>
> um numerisch zu integrieren benötige ich ja x, y(x), y'(x)
> und [mm]y'(x)\cdot[/mm] h.
>
> gegeben sind anfangs [mm]x =1[/mm] und anfangs [mm]y(x) = -1[/mm] ... dann
[mm]x_{0}=1, \ y_{0}=-1[/mm]
> wäre erstes [mm]y'(x) = 1[/mm] und erstes [mm]y'(x) \cdot h = 0.1[/mm];
Danach ist [mm]y_{1}=-0.9[/mm] und [mm]x_{1}=1+0.1=1.1[/mm]
> zweites [mm]y=0.9[/mm] zweites [mm]y'(x)=\frac{.9^{2}}{.2^{2}}[/mm] und so
Das stimmt nicht.
[mm]y' = \left(\bruch{-0.9}{1.1}\right)^{2}[/mm]
> weiter... also im dritten schritt wäre [mm]x=0.3[/mm] und so
> weiter...
>
> stimmt meine Vorgehensweise??
Du bekommst das Eulerverfahren, wenn Du y' durch den Differenzenquotienten ersetzt:
[mm]y'\left(x_{n}\right) \approx \bruch{y_{n+1}-y_{n}}{h}=\left(\bruch{y_{n}}{x_{n}}\right)^{2}[/mm]
>
> exakter Wert:
>
> [mm]\integral{\frac{1}{y}dy}=\integral{\frac{1}{x}dx}[/mm]
>
> ergibt als allgemeine Lösung: [mm]y=x+\frac{1}{C}[/mm]
>
> stimmt diese allgemeine Lösung?
>
Diese allgemeine Lösung stimmt leider nicht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi Mathepower,
ich habe jetzt 10 Schritte gemacht und komme auf ein y(x) von -0.627, ist das richtig? und in wie fern kann ich damit die Differentialgleichung "auflösen"?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was dein [mm] x_e [/mm] ist steht nicht in der Aufgabe. du sollst ja y an der Stelle ausrechnen. nach 10 Schritten solltest x=2 sein.
Dann sollst du x=2 in die bis dahin korrigierte exakte Lösung einsetzen und vergleichen.
Deine 10 Schritte nachzurechnen ist nicht unsere aufgabe. rechne die ersten 3 vor, dann kontrollieren wir, ob du es richtig machst.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du deine 3 Schritte nicht vorrechnest kann ichs nicht genau sehen. y(0.1) ist nicht 0.9 und dann weiss ich ja bei einer Zahl nicht, ob das ein Schreibfehler ist.
2. Deine exakte Lösung ist falsch. wo sind die Quadrate geblieben? und wenns wieder nur ein Schreibfehler ist, bist du mit c falsch umgegangen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi
$x=1$ $y=-1$ $y'=1$ [mm] $y'\cdot [/mm] h= 0.1$
$x=1.1$ $y=-0.9$ $y'=0.6694$ [mm] $y'\cdot [/mm] h= 0.06694$
$x=1.2$ $y=-0.833$ $y'=0.482$ $y' [mm] \cdot [/mm] h= 0.0482$
$x=1.3$ $y=-0.7848$ $y'=0.36445$ $y' [mm] \cdot [/mm] h= 0.03644$
bei der analytischen Lösung erhält man ja auf beiden Seiten zuerst [mm] $\integral{ \frac{1}{y^2}dy}$ [/mm] (bzw. mit x und dx)
das integriert gibt doch [mm] $-\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+C$ [/mm] ?
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Hallo kushkush,
> Hi
>
> [mm]x=1[/mm] [mm]y=-1[/mm] [mm]y'=1[/mm] [mm]y'\cdot h= 0.1[/mm]
> [mm]x=1.1[/mm] [mm]y=-0.9[/mm] [mm]y'=0.6694[/mm]
> [mm]y'\cdot h= 0.06694[/mm]
> [mm]x=1.2[/mm] [mm]y=-0.833[/mm] [mm]y'=0.482[/mm] [mm]y' \cdot h= 0.0482[/mm]
>
> [mm]x=1.3[/mm] [mm]y=-0.7848[/mm] [mm]y'=0.36445[/mm] [mm]y' \cdot h= 0.03644[/mm]
>
Ok, das ist richtig.
>
> bei der analytischen Lösung erhält man ja auf beiden
> Seiten zuerst [mm]\integral{ \frac{1}{y^2}dy}[/mm] (bzw. mit x und
> dx)
>
> das integriert gibt doch [mm]-\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+C[/mm] ?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
$ [mm] -\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+C [/mm] $
[mm] $\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-C [/mm] $
$ y=x - [mm] \frac{1}{C}$
[/mm]
?
und wie kann ich die Zahl beim Eulerverfahren weiterverwenden?
Danke
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Hallo kushkush,
> [mm]-\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+C[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-C[/mm]
>
> [mm]y=x - \frac{1}{C}[/mm]
Das muß hier so lauten:
[mm]y=\bruch{1}{\bruch{1}{x}-C}[/mm]
>
> ?
>
> und wie kann ich die Zahl beim Eulerverfahren
> weiterverwenden?
>
Welche Zahl?
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Ich dachte man könne aus der Zahl die man erhält die Funktion bestimmen, dabei ist das ganze ja nur eine Näherung an die analytisch berechnete Zahl und nicht eine "angenäherte" Funktion selber...
und dann wäre die allgemeine Lösung ja
[mm] $y=\frac{x}{1-C}$ [/mm]
dankeschön!
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Hallo kushkush,
> Ich dachte man könne aus der Zahl die man erhält die
> Funktion bestimmen, dabei ist das ganze ja nur eine
> Näherung an die analytisch berechnete Zahl und nicht eine
> "angenäherte" Funktion selber...
>
Eben.
>
> und dann wäre die allgemeine Lösung ja
>
> [mm]y=\frac{x}{1-C}[/mm]
>
Nicht ganz:
[mm]y=\frac{x}{1-C\red{x}}[/mm]
>
> dankeschön!
Gruss
MathePower
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