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Evolvente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Mo 04.10.2004
Autor: ratz

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Die parameter Darstellung der Evolvente eines Kreises lautet:

[mm] x = r*\cos t + r*t*\sin t [/mm]
[mm] y = r*\sin t - r*t*\cos t [/mm]

das hab ich aus der Formelsammlung, sollte soweit also richtig sein.
auf die Formel komm ich nicht ganz, ich komme wenn ich bei startpunkt
(1,0) anfange auf folgende Darstellung:

[mm] x = r*\cos t + r*(t-1)*\sin t [/mm]
[mm] y = r*\sin t - r*t*\cos t [/mm]

????

Kann ich nun von der obigen parameter Darstellung auf kartesische koordinaten schließen??
also das ich zum schluss habe:

[mm] y = Evolvente(x) [/mm]




        
Bezug
Evolvente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Mo 04.10.2004
Autor: Julius

Hallo ratz!

> Die parameter Darstellung der Evolvente eines Kreises
> lautet:
>  
> [mm]x = r*\cos t + r*t*\sin t[/mm]
>  [mm]y = r*\sin t - r*t*\cos t[/mm]

[ok]

> das hab ich aus der Formelsammlung, sollte soweit also
> richtig sein.

Du findest sie auch []hier auf Seite 47, mit einer kleinen Herleitung.

>  auf die Formel komm ich nicht ganz, ich komme wenn ich bei
> startpunkt
> (1,0) anfange auf folgende Darstellung:
>  
> [mm]x = r*\cos t + r*(t-1)*\sin t[/mm]
>  [mm]y = r*\sin t - r*t*\cos t[/mm]


Dann rechne uns das doch mal vor... :-)


> Kann ich nun von der obigen parameter Darstellung auf
> kartesische koordinaten schließen??
>  also das ich zum schluss habe:
>  
> [mm]y = Evolvente(x)[/mm]

  
Es gilt (mit der Formel aus der Formelsammlung/dem Skript):

[mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm]

$= [mm] (r^2 \cos^2(t) +2r^2t\cos(t)\sin(t) [/mm] + [mm] t^2r^2\sin^2(t)) [/mm] + [mm] (r^2 \sin^2(t) [/mm] - [mm] 2r^2 [/mm] t [mm] \sin(t)\cos(t) [/mm] + [mm] t^2r^2 \sin^2(t))$ [/mm]

$= [mm] r^2 \cdot (\sin^2(t) [/mm] + [mm] \cos^2(t)) [/mm] + [mm] t^2 r^2 \cdot (\sin^2(t) [/mm] + [mm] \cos^2(t))$ [/mm]

[mm] $=r^2 [/mm] + [mm] t^2 r^2$ [/mm]

[mm] $=(1+t^2)r^2$ [/mm]

Das kannst du nach $t>0$ auslösen, in das $t$ von $y$ einsetzen und nach $y$ auflösen. Dann ist $t$ verschwunden, und man hat nur noch $x$ und $y$ in der Gleichung. Oder ist das Blödsinn? Bin mir gerade unsicher... [verwirrt] Vielleicht kann das ja mal jemand nachschauen?

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Evolvente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Di 05.10.2004
Autor: ratz

Hallo,

hmm ich hab mal die Gleichung nach [mm]t[/mm] aufgelöst und dann in
[mm]y[/mm] eingesetzt, dann hab ich aber wieder das Problem das ich das nicht nach y auflösen kann.

[mm]y(x) = r*\sin (\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})-r*(\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})*cos(\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})[/mm]

Aber noch mal zur Evolvente:
Meine Rechnung:

Die definition einer Evolvente von einer nach der Bogenlänge parametrisierten ebenen Kurve c ist: (laut meinem Skript)

[mm] Evolvente[c](t):=c(t)+(d-t)*c'(t)[/mm]

mit Startpunkt c(d)

ein nach der Bogenlänge parametrisierter Kreis:

[mm]x = x0 + r * \cos(\bruch {t} {r}) [/mm]

[mm]y = y0 + r * \sin(\bruch {t} {r}) [/mm]

Die Ableitung :

[mm]x = - \sin(\bruch {t} {r}) [/mm]

[mm]y = \cos(\bruch {t} {r}) [/mm]

wenn ich dann als startpunkt (1,0) wähle müsste doch

[mm]x = x0 + r * \cos(\bruch {t} {r}) + (t-1) *\sin(\bruch {t} {r})[/mm]

[mm]y = y0 + r * \sin(\bruch {t} {r})+ t*cos(\bruch {t} {r})[/mm]

rauskommen, oder seh ich das falsch?? irgendwie wohl schon da in der Formelsammlung was anderes steht.

lg steffi



Bezug
                        
Bezug
Evolvente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Di 05.10.2004
Autor: Julius

Liebe Steffi!

> hmm ich hab mal die Gleichung nach [mm]t[/mm] aufgelöst und dann in
>
> [mm]y[/mm] eingesetzt, dann hab ich aber wieder das Problem das ich
> das nicht nach y auflösen kann.
>  
> [mm]y(x) = r*\sin (\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})-r*(\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})*cos(\wurzel{\bruch {x^2+y^2}{r^2} - 1})[/mm]

Ja, du hast Recht: das wird schwierig nach $y$ aufzulösen. Aber es ist trotzdem eine parameterfreie Darstellung, denn schließlich taucht kein $t$ mehr auf, sondern nur noch $x$ und $y$.

>
> Aber noch mal zur Evolvente:
>  Meine Rechnung:
>  
> Die definition einer Evolvente von einer nach der
> Bogenlänge parametrisierten ebenen Kurve c ist: (laut
> meinem Skript)
>  
> [mm]Evolvente[c](t):=c(t)+(d-t)*c'(t)[/mm]
>  
> mit Startpunkt c(d)

Aha!! Hier liegt der Fehler. Der Startpunkt bei dir ist:

$c(0)= [mm] \begin{pmatrix} r \\ 0 \end{pmatrix}$. [/mm]

Hier ist also: $d=0$, und genau das musst du in die Evolentengleichung einsetzen. Stattdessen hast du irgendwas wie $c(0)$ eingesetzt, was aber keinen Sinn macht.

> ein nach der Bogenlänge parametrisierter Kreis:
>  
> [mm]x = x0 + r * \cos(\bruch {t} {r})[/mm]
>  
> [mm]y = y0 + r * \sin(\bruch {t} {r})[/mm]

[ok]

> Die Ableitung :
>  
> [mm]x = - \sin(\bruch {t} {r})[/mm]
>  
> [mm]y = \cos(\bruch {t} {r})[/mm]

[ok]

> wenn ich dann als startpunkt (1,0) wähle müsste doch
>  
> [mm]x = x0 + r * \cos(\bruch {t} {r}) + (t-1) *\sin(\bruch {t} {r})[/mm]
>  
>
> [mm]y = y0 + r * \sin(\bruch {t} {r})+ t*cos(\bruch {t} {r})[/mm]

[notok]

Setze $d=0$ ein, dann erhältst du:

[mm]x = x0 + r * \cos(\bruch {t} {r}) + t *\sin(\bruch {t} {r})[/mm],

[mm]y = y0 + r * \sin(\bruch {t} {r})+ t*\cos(\bruch {t} {r})[/mm].

Jetzt stimmt's! :-)

Liebe Grüße
Julius
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Evolvente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Di 05.10.2004
Autor: ratz

hallo,

jetzt versteh ich nur noch nicht wieso [mm]d = 0[/mm] wenn der startpunkt doch bei [mm](1,0)[/mm] liegt? wieso muss dann [mm]d = 0[/mm] sein ? ? nimmt man da immer den y wert?


lg steffi
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Evolvente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Di 05.10.2004
Autor: Julius

Liebe Steffi!

Nein, noch einmal:

Der Startwert ist $c(d)$. Einzusetzen ist aber das $d$, nicht das $c(d)$. Bei dir ist $c(0)=(r,0)$, also ist $d=0$ einzusetzen.

Liebe Grüße
Julius
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Evolvente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Di 05.10.2004
Autor: ratz

ok. soweit verstanden, aber wenn ich z.b. nun einen Startpunkt bei
(0,-1) hätte, dann bekomm ich die selbe Evolventen Gleichung. müsste das sich nicht änder??

lg steffi
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Bezug
Evolvente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Di 05.10.2004
Autor: Julius

Hallo Steffi!

Zunächst einmal sehe ich die ganze Zeit, dass der Startpunkt ja gar nicht $(0,1)$ ist, sondern $(r,0)$. Setze doch mal $d=0$ in $c(d)$ ein. Das habe ich gedankenlos von dir falsch übernommen und werde das jetzt gleich mal überall in meinen Beiträgen verbessern.

Weiterhin: Wenn du einen anderen Startpunkt hast, dann bekommst du auch eine andere Gleichung, klar. Denn bei dir ist zwar $c(0)=(r,0)$. Aber wenn du jetzt bei einem anderen Punkt, nennen wir ihn $(x,y)$ anfangen willst, dann ist eben nicht mehr $c(0)=(x,y)$, sondern es gilt für ein anderes $d$ gerade $c(d)=(x,y)$. Und dieses $d$ musst du dann einsetzen.

Klar? Wähle dir also einen Startpunkt $(x,y)$ auf der Kurve. Schaue dir dann deine Parametrisierung genau an. Für welches $d$ ist $c(d)=(x,y)$. Dieses $d$ setzt du dann ein.

Setz doch mal $d=0$ ein. Dann wirst du sehen, dass du auf den Punkt $(r,0)$ kommst.

Liebe Grüße
Julius
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Bezug
Evolvente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Di 05.10.2004
Autor: ratz

ok. danke für die erklärung jetzt hab ich gegriffen, wie das funktioniert.
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