Ex. einer holomorphen Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe gelöst, bin mir aber unsicher, ob meine Lösung so stimmt. Kann jemand meine Lösung angucken und mir sagen ob es richtig ist oder falsch? Vielen Dank!
Zu zeigen: Es gibt keine holomorphe Funktion f: [mm] \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC [/mm] mit f'(z) = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
Als Hinweis war gegeben: Betrachte f [mm] \circ [/mm] exp
Ich hab folgendes gemacht:
Die Stammfunktion von f' (z) ist f(z) = ln z
f [mm] \circ [/mm] exp (z) = ln [mm] e^{z} [/mm] = z := x + iy
Um zu beweisen, dass eine Funktion holomorph ist, muss man zeigen, dass die Cauchy-Riemann-Gleichungen gelten. Also muss ich hier zeigen, dass die C-R-Gleichungen nicht gelten:
Also f(x+ iy)= f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{u(x,y) \\ v(x,y)}
[/mm]
also : u(x,y) = x der Realteil v(x,y)=y der Imaginärteil
[mm] \bruch{ \partial u}{ \partial x}=1 [/mm]
[mm] \bruch{ \partial u}{ \partial y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{ \partial v}{ \partial x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{ \partial v}{ \partial y}=1
[/mm]
Es muss, wenn die C-R-Gln gelten sollen, folgendes sein:
[mm] \bruch{ \partial u}{ \partial x} [/mm] = [mm] \bruch{ \partial v}{ \partial y} [/mm] und
[mm] \bruch{ \partial u}{ \partial y} [/mm] = - [mm] \bruch{ \partial v}{ \partial x}
[/mm]
Hier ist es nicht der Fall, darum ist f [mm] \circ [/mm] exp nicht holomorph.
Daraus folgt doch, dass f mit Ableitung [mm] \bruch{1}{z} [/mm] nicht holomorph ist.
Stimmt das so? 
Danke. milka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> ich habe hier folgende Aufgabe gelöst, bin mir aber
> unsicher, ob meine Lösung so stimmt. Kann jemand meine
> Lösung angucken und mir sagen ob es richtig ist oder
> falsch? Vielen Dank!
>
> Zu zeigen: Es gibt keine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ {0}
> [mm]\to \IC[/mm] mit f'(z) = [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
>
> Als Hinweis war gegeben: Betrachte f [mm]\circ[/mm] exp
>
> Ich hab folgendes gemacht:
>
> Die Stammfunktion von f' (z) ist f(z) = ln z
Erstens ist das nur eine Stammfunktion, und zweitens kannst du den Logarithmus auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] nur lokal definieren, aber nicht global! Also kannst du nicht sagen, dass $f(z) = [mm] \ln [/mm] z$ ist! (Das dies nicht geht wird uebrigens grad durch diese Uebungsaufgabe gezeigt!)
> f [mm]\circ[/mm] exp (z) = ln [mm]e^{z}[/mm] = z := x + iy
>
> Um zu beweisen, dass eine Funktion holomorph ist, muss man
> zeigen, dass die Cauchy-Riemann-Gleichungen gelten. Also
> muss ich hier zeigen, dass die C-R-Gleichungen nicht
> gelten:
>
> Also f(x+ iy)= f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{u(x,y) \\ v(x,y)}[/mm]
>
> also : u(x,y) = x der Realteil v(x,y)=y der Imaginärteil
Das $f$ hier ist das $f [mm] \circ \exp$ [/mm] von oben, oder?
> [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial x}=1[/mm]
> [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial y}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \partial v}{ \partial x}=0[/mm]
> [mm]\bruch{ \partial v}{ \partial y}=1[/mm]
>
> Es muss, wenn die C-R-Gln gelten sollen, folgendes sein:
>
> [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial x}[/mm] = [mm]\bruch{ \partial v}{ \partial y}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{ \partial u}{ \partial y}[/mm] = - [mm]\bruch{ \partial v}{ \partial x}[/mm]
>
> Hier ist es nicht der Fall, darum ist f [mm]\circ[/mm] exp nicht
> holomorph.
Wieso ist das nicht der Fall?!
> Stimmt das so?
Leider nein...
Definier dochmal $g := f [mm] \circ \exp$. [/mm] Wenn es ein solches $f$ gibt, dann ist $g : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] holomorph. Jetzt leite das doch mal ab. Dann bekommst du heraus, dass $g(z) = z + [mm] \lambda$ [/mm] ist fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und fuer ein festes [mm] $\lambda \in \IC$ [/mm] (warum?). Ohne Einschraenkung sei [mm] $\lambda [/mm] = 0$ (ansonsten $f - [mm] \lambda$ [/mm] anstatt $f$ betrachten).
Jetzt betrachte doch mal [mm] $f(e^{i t}) [/mm] = g(i t) = i t$ mit $t [mm] \in \IR$. [/mm] Faellt dir was auf?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo felix,
danke für deine schnelle Antwort auf meine Aufgabe. Jetzt habe ich deinen Rat befolgt und g := f [mm] \circ [/mm] exp mal abgeleitet. Dann kommt aber nie das raus, was du da hingeschrieben hast: g(z) = z + [mm] \lambda.
[/mm]
Wenn ich das jetzt ableite erhalte ich für g(z) = f( [mm] e^{z}):
[/mm]
g'(z) = [mm] f'(e^{z}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{z}} [/mm] * [mm] e^{z} [/mm] = 1
Ich bekomme nur dein Ergebnis raus, wenn ich als Stammfunktion f (z) = lnz + C setze. Aber du hast ja gesagt, dass der Logarithmus nicht global def. ist. *verwirrt* Wenn ich also die Stammfunktion so setze, dann bekomm ich auch das raus, was du schreibst:
g(x+ iy) = [mm] f(e^{x+iy})= [/mm] x+ iy + C nach dem Logarithmus.
Ich verstehe nicht genau, was du meinst mit Ableiten hier in dem Fall. Von daher weiß ich auch nicht, was mir auffallen sollte bei [mm] f(e^{it}) [/mm] = g(it) = it .
Danke für die Hilfe.
milka
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
vielen Dank für dein schnelle Antwort. Jetzt ist es mir auch klar, wie du auf g kommst.
Jetzt habe ich für ganzzahlig Vielfache von [mm] \pi [/mm] eingesetzt und habe folgendes festgestellt:
f( [mm] e^{i\pi})=g(i\pi) [/mm] = [mm] i\pi [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
aber [mm] e^{i\pi} [/mm] = -1 , also ist f(-1) = g(-1 +0i) = -1+ [mm] \lambda, [/mm] also ungleich oben!
Dasselbe für [mm] 2\pi:
[/mm]
f( [mm] e^{2i\pi})= g(2i\pi)=2i\pi [/mm] + [mm] \lambda [/mm] ist ungleich f(1) = g(1+0i)= 1 + [mm] \lambda
[/mm]
Daraus folgt, dass g nicht holomorph ist, weil für die Ableitung von g am gleichen Punkt immer andere Were rauskommen. Stimmts?
Danke! milka
|
|
|
|
