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| Aufgabe | Solve
[mm] $\left[ \bruch{y}{(x+y)^2}-1\right]dx+\left[1-\bruch{x}{(x+y)^2} \right]dy=$
[/mm]
Solution:
[mm] $\bruch{y^2-x^2+x}{x+y}$ [/mm] |
Hallo,
die DGL ist exakt:
[mm] $\bruch{\partial M}{\partial y}=\bruch{\partial N}{\partial x}=\bruch{x^2-y^2}{(x+y)^4}$
[/mm]
Jetzt hab' ich aber Probleme auf die Lösung zu kommen:
[mm] $\integral [/mm] M [mm] \;\partial x+f(y)=\integral [/mm] N [mm] \;\partial [/mm] y+f(x)$
[mm] $\bruch{-y}{(x+y)}-x=\bruch{x}{(x+y)}+y$
[/mm]
[mm] $\bruch{-y-x^2-xy}{(x+y)}=\bruch{x+y^2+xy}{(x+y)}$
[/mm]
, was ja nicht stimmt.
Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Solve
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> [mm]\left[ \bruch{y}{(x+y)^2}-1\right]dx+\left[1-\bruch{x}{(x+y)^2} \right]dy=[/mm]
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> Solution:
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> [mm]\bruch{y^2-x^2+x}{x+y}[/mm]
> Hallo,
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> die DGL ist exakt:
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> [mm]\bruch{\partial M}{\partial y}=\bruch{\partial N}{\partial x}=\bruch{x^2-y^2}{(x+y)^4}[/mm]
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> Jetzt hab' ich aber Probleme auf die Lösung zu kommen:
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> [mm]\integral M \;\partial x+f(y)=\integral N \;\partial y+f(x)[/mm]
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> [mm]\bruch{-y}{(x+y)}-x=\bruch{x}{(x+y)}+y[/mm]
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> [mm]\bruch{-y-x^2-xy}{(x+y)}=\bruch{x+y^2+xy}{(x+y)}[/mm]
>
> , was ja nicht stimmt.
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> Wo liegt mein Fehler?
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Nun, da die DGL exakt ist, stellt sie ein vollständiges Differential dar:
[mm]M \ dx + N \ dy = F_{x} \ dx + F_{y} \ dy = 0[/mm]
Die Lösung ist dann [mm]F\left(x,y\right) = k [/mm] (k konstant).
Um auf die Lösung zu kommen gehst Du wie folgt vor:
[mm]F_{x}= M \Rightarrow F= \integral_{}^{}{M \ dx} + r\left(y\right)[/mm]
Abgeleitet nach y ergibt:
[mm]F_{y}= N = \integral_{}^{}{M_{y} \ dx} + r'\left(y\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow r\left(y\right) = \integral_{}^{}{\left( \ N - \integral_{}^{}{M_{y} \ dx \ \right)} \ dy}[/mm]
Somit ergibt sich als Lösung:
[mm]F\left(x,y\right) = \integral_{}^{}{M \ dx} + \integral_{}^{}{\left( \ N - \integral_{}^{}{M_{y} \ dx \ \right)} \ dy} = k[/mm] ( k konstant)
> Vielen Dank für eine Antwort.
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> LG, Martinius
Gruß
Martinius
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