Exakte Folge von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 01.02.2007 | | Autor: | Methos |
| Aufgabe | Sei $0 [mm] \mapsto V_{0} \mapsto V_{1} \mapsto [/mm] ... [mm] \mapsto V_{k} \mapsto [/mm] 0$ eine exakte Folge endlich-dimensionaler Vektorräume mit [mm] $\varphi_{i} [/mm] : [mm] V_{i-1} \mapsto V_{i}$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $\summe_{i=1}^{k} (-1)^i [/mm] dim [mm] V_{i} [/mm] = 0$ |
Hi,
bin bei obigen Problem soweit gekommen:
Man kann $dim [mm] V_{i}$ [/mm] schreiben als $dim [mm] V_{i} [/mm] = [mm] dim(Ker(\varphi_{i+1})) [/mm] + [mm] dim(Bild(\varphi_{i+1}))$ [/mm] und aufgrund der Exaktheit $dim [mm] V_{i} [/mm] = [mm] dim(Bild(\varphi_{i})) [/mm] + [mm] dim(Bild(\varphi_{i+1}))$. [/mm] Soweit richtig?
dann lässt sich die Summe ebenfalls ersetzen und somit verschwinden durch das wechselnde Vorzeichen (-1) alle Summanden bis auf [mm] $dim(Bild(\varphi_{0})) [/mm] + [mm] (-1)^k dim(Bild(\varphi_{k+1}))$. [/mm] Jetzt fällt mir aber eben nix mehr ein, warum diese Summe Null sein muss. Kann mir jemand helfen?
Gruß und Dank
Methos
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Methos |
Bitte lacht nicht, auch wenns für euch noch so banal is, für mich ist es nicht, sonst hätte ich die Frage ja nicht gestellt.
Naja, [mm] $\varphi_{0}$ [/mm] bildet zwischen $0$ und [mm] $V_{0}$ [/mm] ab und [mm] $\varphi_{k+1}$ [/mm] bildet zwischen [mm] $V_{k}$ [/mm] und $0$ ab, soweit war mir das schon klar. Womit ich persönlich Probleme habe, ist der Umgang mit $Bild$, bedeudet das, dass [mm] $Bild(\varphi_{0}) [/mm] = [mm] V_{0}$ [/mm] und [mm] $Bild(\varphi_{k+1}) [/mm] = 0$? Dann wäre beim zweiten klar, dass die Dimension 0 ist, aber woher soll ich wissen, welche Dimension [mm] $V_{0}$ [/mm] hat?? Eulerscher Polyeder sagt mir gar nix.
Gruß
Methos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Fr 02.02.2007 | | Autor: | statler |
guten Morgen!
> Bitte lacht nicht, auch wenns für euch noch so banal is,
> für mich ist es nicht, sonst hätte ich die Frage ja nicht
> gestellt.
Kein Mensch lacht darüber!
> Naja, [mm]\varphi_{0}[/mm] bildet zwischen [mm]0[/mm] und [mm]V_{0}[/mm] ab und
> [mm]\varphi_{k+1}[/mm] bildet zwischen [mm]V_{k}[/mm] und [mm]0[/mm] ab, soweit war
> mir das schon klar. Womit ich persönlich Probleme habe, ist
> der Umgang mit [mm]Bild[/mm], bedeutet das, dass [mm]Bild(\varphi_{0}) = V_{0}[/mm]
> und [mm]Bild(\varphi_{k+1}) = 0[/mm]? Dann wäre beim zweiten klar,
> dass die Dimension 0 ist, aber woher soll ich wissen,
> welche Dimension [mm]V_{0}[/mm] hat??
Die Dimension des Bildes von [mm] \phi_{0} [/mm] ist hier die Dimension des Bildes des Nullraums, aber eine lineare Abb. bildet den Nullraum auf den Nullrum ab. Der Wertevorrat - also [mm] V_{0} [/mm] - kann so groß sein wie er will.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Schau dir doch mal an, zwischen welchen Vektorräumen es Abbildungen sind, dann fällt es dir wohl wie Schuppen von den Augen 
