Exist. Elliptischer Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Sa 27.02.2010 | | Autor: | dawu |
| Aufgabe | Thema: Die Herleitung elliptischer Funktionen zu vorgegebenen Null- und Polstellen (aus Freitag/Busam Funktionentheorie 1, S. 298)
Die rationale Funktion [mm]f(z) = z-a\ (a \in \mathbb{C}) \quad (I)[/mm] hat in $z = a$ eine Nullstelle und in $z = [mm] \infty$ [/mm] einen Pol erster Ordnung. Da sich jede rationale Funktion in der Form
[mm]f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} \quad (II)[/mm]
schreiben lässt, folgt allgemein:
Eine rationale Funktion hat auf [mm] $\overline{\mathbb{C}}$ [/mm] gleich viele Null- und Polstellen, wenn man jede so oft rechnet, wie ihre Vielfachheit angibt. |
Hallo liebe Matheräumler!
Ich habe ein Verständnisproblem zum obigen Abschnitt aus meinem Buch (Freitag/Busam, Funktionentheorie 1, S. 298).
Mir ist selbstverständlich klar, dass $(I)$ eine Pol- und Nullstelle hat. Wenn ich mir nun aber den Bruch $(II)$ anschaue, habe ich ein Verständnisproblem:
Klar ist, dass man, wenn man z. B. $z = [mm] a_1$ [/mm] einsetzt, eine [mm] $\nu_1$-fache [/mm] Nullstelle, oder für $z = [mm] b_1$ [/mm] eine [mm] $\mu_1$-fache [/mm] Polstelle erhält.
Wie kann man jedoch das Verhalten für $z = [mm] \infty$ [/mm] begründen? Ich kann ja nicht einfach überall $z = [mm] \infty$ [/mm] einsetzen, sonst käme ja sowas grausiges wie [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] raus... :-(
Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Viele Grüße,
dawu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Sa 27.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Thema: Die Herleitung elliptischer Funktionen zu
> vorgegebenen Null- und Polstellen (aus Freitag/Busam
> Funktionentheorie 1, S. 298)
>
> Die rationale Funktion [mm]f(z) = z-a\ (a \in \mathbb{C}) \quad (I)[/mm]
> hat in [mm]z = a[/mm] eine Nullstelle und in [mm]z = \infty[/mm] einen Pol
> erster Ordnung. Da sich jede rationale Funktion in der
> Form
>
> [mm]f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} \quad (II)[/mm]
>
> schreiben lässt, folgt allgemein:
>
> Eine rationale Funktion hat auf [mm]\overline{\mathbb{C}}[/mm]
> gleich viele Null- und Polstellen, wenn man jede so oft
> rechnet, wie ihre Vielfachheit angibt.
> Hallo liebe Matheräumler!
>
> Ich habe ein Verständnisproblem zum obigen Abschnitt aus
> meinem Buch (Freitag/Busam, Funktionentheorie 1, S. 298).
>
> Mir ist selbstverständlich klar, dass [mm](I)[/mm] eine Pol- und
> Nullstelle hat. Wenn ich mir nun aber den Bruch [mm](II)[/mm]
> anschaue, habe ich ein Verständnisproblem:
>
> Klar ist, dass man, wenn man z. B. [mm]z = a_1[/mm] einsetzt, eine
> [mm]\nu_1[/mm]-fache Nullstelle, oder für [mm]z = b_1[/mm] eine [mm]\mu_1[/mm]-fache
> Polstelle erhält.
>
> Wie kann man jedoch das Verhalten für [mm]z = \infty[/mm]
> begründen? Ich kann ja nicht einfach überall [mm]z = \infty[/mm]
> einsetzen, sonst käme ja sowas grausiges wie
> [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] raus... :-(
>
> Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Zieh aus jeder Klammer den Faktor z heraus, dann steht da
[mm] f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} = z^{\nu_1+\dots+\nu_n - \mu_1-\dots-\mu_n} \bruch{(1-a_1/z)^{\nu_1} \cdots (1-a_n/z)^{\nu_n}}{(1-b_1/z)^{\mu_1} \cdots (1-b_m/z)^{\mu_m}} [/mm]
Der Bruch ist in einer Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] holomorph; das Null-/Polstellenverhalten in $z= [mm] \infty$ [/mm] wird also nur durch den Faktor [mm] $z^{\nu_1+\dots+\nu_n - \mu_1-\dots-\mu_n}$ [/mm] bestimmt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Di 09.03.2010 | | Autor: | dawu |
Ich habe bis jetzt leider keine Zeit mehr gehabt, mich mit dem Thema zu beschäftigen, aber dennoch vielen Dank für die schnelle Antwort!! 
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