Existentionalitäts-Axiom < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Alpha23 |
| Aufgabe | Welche Axiome der Mengenlehre gelten jeweils für
(1) Die Gesamtheit aller endlichen Mengen
(2) Die Gesamtheit aller (höchstens) abzählbaren Mengen
(3) Die Gesamtheit aller Mengen, die man aus [mm]\emptyset[/mm] iterativ durch Paarmengenbilduing und Vereinigung gewinnen kann. |
Hallo!
Oben stehende Aufgabe wurde bei und in "Einführung in die Logik" gestellt. Intuitiv würde ja jeder sagen, dass Exentionalität auf jeden Fall für endliche und/oder abzählbare Mengen gilt und ich bin immer noch der Meinung, dass das so sein muss:
[mm]\forall X \forall Y . \left( X=Y \right) \Leftrightarrow \forall x. \left( x \in X \leftrightarrow x \in Y \right)[/mm]
Allerdings gab uns der Prof. zu unserer Verwunderung ein Gegenbeispiel:
[mm]X=\left\{ \IN \right\}[/mm] und [mm]Y=\emptyset[/mm]
Als Erklärung gab er: betrachtet man die Existentionalität unter der Bedingung der endlichen Mengen, dann gilt diese nicht nur für [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm], sondern auch für [mm]x[/mm]. Das würde der Rückrichtung widersprechen: [mm]X[/mm] ist endlich, aber [mm]\IN = x \in X[/mm] ist unendlich. Es gibt also keine endlichen [mm]x \in X[/mm], daher gilt [mm] x \in X \leftrightarrow x \in Y[/mm] für alle, in unserem Fall also keine [mm]x[/mm]. Daraus würde aber folgen, dass [mm]\left\{ \IN \right\} = \emptyset[/mm] - Widerspruch.
Gleiches Gegenbeispiel gilt auch für die Existentionalität bei abzählbaren Mengen. Mir persönlich widerspricht das dem Sinn der Mengenlehre.
Kann mir irgendjemand bestätigen oder widerlegen, dass das ein gültiges Gegenbeispiel ist? Wenn es gültig wäre, dann würde auch das Aussonderungsaxiom nicht für endliche Mengen gelten, was ich nicht wirklich glaube...
Vielen Dank für eure Antworten!
Gruß Timo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 27.04.2007 | | Autor: | komduck |
Ein Model der Mengenlehre besteht aus der Angabe des Universums U
und der Relation [mm] \in. \in [/mm] ist eine zweistellige Relation auf U.
Wenn wir nun als Universum die Gesamtheit der endlichen Mengen
nehmen, dann enthalten unsere Mengen Elemente die nicht selbst in U
sind. Das macht aber nichts, so lange wie [mm] \in [/mm] zwischen 2 Mengen aus
U definiert ist. Wenn wir nun Formeln betrachen, dann werden die
Variablen nur mit Elemente aus dem Universum belegt.
Wir haben nun Elemente die wir mit Formeln "nicht sehen können".
Wenn unsere Gleichheit diese unterscheidet dann ist die Extensionalität
verletzt.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 29.04.2007 | | Autor: | Alpha23 |
Zitat: "Wir haben nun Elemente die wir mit Formeln "nicht sehen können".
Wenn unsere Gleichheit diese unterscheidet dann ist die Extensionalität
verletzt. "
Man sollte also noch entscheiden, wie die Relation [mm]=[/mm] definiert ist?
Wenn ich mir [mm]\left\{ \IN \right\}[/mm] in den endlichen Mengen anschaue, hat es also keine Element mehr? Das hieße dann, dass [mm]\left\{ \IR \right\}[/mm] in den abzählbaren Mengen auch keine Elemente hat?
Hieße das dann im Endeffekt, dass die Existentionalität nicht verletzt ist, wenn ich "unsichtbare" Elemente als keine Elemente ansehe?
Gruß Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 29.04.2007 | | Autor: | komduck |
In der Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität sind wir nicht frei in der Wahl der
Gleichheit. Bei der Definition von Model wird für die Interpretation der
Gleichheit gefordert:
[mm] I(t_{1}=t_{2}) [/mm] :<=> [mm] I(t_{1}) [/mm] = [mm] I(t_{2})
[/mm]
Man kann diese Definition abschwächen indem man für die
Gleichheit eine Reltation zulässt, die nur die Gleicheitsaxiome erfüllt.
Man verwendet dies z.B. in Beweisen von Aussagen wie:
ZF ist consistent dann auch ZF + [mm] \neg [/mm] AC
Mit dem Existentionalitäts-Axiom wollen wir genau verhindern, daß Mengen
versteckte Eigenschaften haben, die nicht durch der Relation [mm] \in [/mm] feststallbar
sind.
Wie sieht es mit der Gesammtheit aller endlichen Mengen deren Elemente
endlich sind aus? Gilt hier das Extensionalitätsaxiom?
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Danke für die Antwort! Hätte nicht gedacht, dass die endlichen und die abzählbaren Mengen tatsächlich nicht die Existentionalität erfüllen!
Endliche Mengen mit endlichen Elementen erfüllen es natürlich. Das sind dann die iterativ aufgebauten Mengen, oder? Also zum Beispiel:
[mm]0=\emptyset[/mm]
[mm]1= \left\{ \emptyset \right\}[/mm]
[mm]succ(X) = \left\{ X \right\} \cup \emptyset[/mm]
Danke für die Hilfe! So langsam komme ich jetzt hinter den Sinn der Logik! :)
Gruß Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 30.04.2007 | | Autor: | komduck |
Endliche Mengen mit endlichen Elementen erfüllen die Existentionalität auch nicht.
Wir haben gefordert die Mengen sind endlich und die Elemente der Mengen
sind endlich. Wir haben aber nichts gesagt über die Elemente der Elemente.
also [mm] \{\{\IN\}\} [/mm] liegt in unserem Universum. [mm] \{\IN\} [/mm] liegt nicht in unserem Universum. Also gilt in unserem Universum :
Es gibt kein Element in [mm] \{\{\IN\}\}, [/mm] also müße es die leere Menge sein.
Wenn man die Mengen Schritt für Schritt aufbaut, dann hast du Recht.
Wir haben hier die Eigenschaft wenn x [mm] \in [/mm] M [mm] \in [/mm] U dann x [mm] \in [/mm] U dann
überträgt sich Existentionalität auf unser U.
Modelle der Mengenlehre müßen aber nicht Mengen sein. Oder wenn
wir Mengen nehmen, dann muß die Relation [mm] \in [/mm] nicht das [mm] \in [/mm] aus der
Metaebene sein.
Zum Beispiel nehmen wir als U die Gesammtheit aller einelementigen
Mengen und definieren:
A [mm] \in [/mm] B :<=> Es gibt ein C in B mit A ist Element von C
Dann gilt nicht nur das Existentionalitätsaxim, sondern alle Gesetze underer
alten Mengenlehre gelten in der neuen.
komduck
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