Existenz Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 23.04.2006 | | Autor: | smile |
Habe morgen Zwischenprüfung in Mathe. Habe den Tipp bekommen zu klären, ob es das Minimalpolynom immer gibt? Existiert das immer? Oder müssen dazu Voraussetzungen erfüllt sein?? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Bin gerade voll Verzweifelt. Das steht in keinem Buch.
Bitte schnell antworten. Hab morgen Prüfung!!!!!!!
Danke für eure Hilfe schon mal im Voraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 23.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Habe morgen Zwischenprüfung in Mathe. Habe den Tipp
> bekommen zu klären, ob es das Minimalpolynom immer gibt?
> Existiert das immer? Oder müssen dazu Voraussetzungen
> erfüllt sein?? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Bin gerade
> voll Verzweifelt. Das steht in keinem Buch.
Sei $L/K$ eine Koerpererweiterung und [mm] $\alpha \in [/mm] L$. Dann heisst [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch ueber $K$, wenn es ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x]$ mit $f [mm] \neq [/mm] 0$ gibt so, dass [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ ist.
Jetzt schau dir mal den Einsetzungshomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K[x] [mm] \to [/mm] L$, $x [mm] \mapsto \alpha$ [/mm] an. Da [mm] $\varphi(K[x])$ [/mm] ein Integritaetsring ist, ist [mm] $\ker\varphi$ [/mm] ein Primideal. Da [mm] $\varphi(f) [/mm] = 0$ ist und $f [mm] \neq [/mm] 0$, ist [mm] $\ker\varphi \neq [/mm] 0$. Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] ein nichttriviales Primideal in $K[x]$.
Nun ist $K[x]$ ein Hauptidealring, womit [mm] $\ker\varphi [/mm] = [mm] (g)_K$ [/mm] ist fuer ein Polynom $g [mm] \in [/mm] K[x]$, $g [mm] \neq [/mm] 0$. Dieses Polynom ist das Minimalpolynom.
Ja, es existiert also. Wenn du eine Ringerweiterung $S/R$ anstatt der Koerpererweiterung $L/K$ hast, dann muss es kein Minimalpolynom zu ueber $R$ algebraischen (man sagt dann `ganzen' anstatt `algebraischen') Elementen [mm] $\alpha \in [/mm] S$ geben; die Voraussetzung ``$K$ Koerper'' ist also essentiell. Ebenso brauchst du natuerlich, dass [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch ist, ansonsten gibt es ueberhaupt kein Polynom ausser dem Nullpolynom, dessen Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] ist...
LG Felix
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