Existenz der Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Betrachten wir die Funktion [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm] x_0 [/mm] = (0,0), aber wegen [mm] f(x_1, [/mm] 0) = f(0, [mm] x_2) [/mm] = 0 existiert sowohl [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1} [/mm] (0,0) = 0 als auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2} [/mm] (0,0) = 0. |
Kann mir jemand helfen, diese Aussage zu verstehen. Es ist doch:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x_2^3 - x_1^2x_2}{(x_1^2 + x_2^2)^2}
[/mm]
Das ist doch für x = (0,0) genau so wenig definiert wie [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}. [/mm] Wieso gilt dann angeblich [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1} [/mm] (0,0) = 0 bzw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2} [/mm] (0,0) = 0?
Was soll ich von dieser Ausführung nun halten?
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Hiho,
du hast völlig recht.
Schon der erste Satz:
> Betrachten wir die Funktion [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0)
macht gar keinen Sinn, da die Funktion an der Stelle gar nicht definiert ist. Ist das die vollständige Aufgabenstellung oder unterschlägst du uns den Funktionswert einfach?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 17.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten wir die Funktion [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm]x_0[/mm] =
> (0,0), aber wegen [mm]f(x_1,[/mm] 0) = f(0, [mm]x_2)[/mm] = 0 existiert
> sowohl [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}[/mm] (0,0) = 0 als auch
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}[/mm] (0,0) = 0.
> Kann mir jemand helfen, diese Aussage zu verstehen. Es ist
> doch:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{x_2^3 - x_1^2x_2}{(x_1^2 + x_2^2)^2}[/mm]
>
> Das ist doch für x = (0,0) genau so wenig definiert wie
> [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}.[/mm] Wieso gilt
> dann angeblich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}[/mm] (0,0) = 0
> bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}[/mm] (0,0) = 0?
Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen wurde.
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> Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen
> wurde.
Mitnichten! Nachzulesen ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 167. Ich zitiere mal mit ein Bisschen mehr Kontext:
"Mehr noch: Es gibt sogar Funktionen, für die die partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren, die in diesem Punkt aber nicht einmal stetig sind (von einer Tangentialebene kann dann gleich gar keine Rede sein, denn wo sollte man sie auch ankleben?)!
Ein Beispiel dazu: Betrachten wir nochmals die Funktion [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1x_2}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] aus Beispiel 23.8 an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm] x_0 [/mm] = (0,0), aber wegen [mm] f(x_1, [/mm] 0) = f(0, [mm] x_2) [/mm] = 0 existiert sowohl [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = 0 als auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2}(0,0) [/mm] = 0."
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 18.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> > Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen
> > wurde.
>
> Mitnichten!
und mit Neffen?
> Nachzulesen
> hier auf
> Seite 167. Ich zitiere mal mit ein Bisschen mehr Kontext:
>
> "Mehr noch: Es gibt sogar Funktionen, für die die
> partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren, die in
> diesem Punkt aber nicht einmal stetig sind (von einer
> Tangentialebene kann dann gleich gar keine Rede sein, denn
> wo sollte man sie auch ankleben?)!
>
> Ein Beispiel dazu: Betrachten wir nochmals die Funktion
> [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm] aus Beispiel
> 23.8 an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm]x_0[/mm] =
> (0,0), aber wegen [mm]f(x_1,[/mm] 0) = f(0, [mm]x_2)[/mm] = 0 existiert
> sowohl [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(0,0)[/mm] = 0 als auch
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}(0,0)[/mm] = 0."
Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:14 Di 19.02.2019 | | Autor: | sancho1980 |
Achso, ich hatte das mit "vergessen" zuerst verstanden, dass du unterstellen wolltest, ich hätte das, was im Buch steht, falsch wiedergegeben...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Di 19.02.2019 | | Autor: | chrisno |
Schreibst Du den Autoren oder dem Verlag, auf dass der Fehler in der nächsten Auflage nicht mehr erscheint?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 19.02.2019 | | Autor: | sancho1980 |
Grad geschehen ...
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> Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.
Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass f(0,0):=0 "vergessen" wurde. Es wird ja explizit auf Beispiel 23.8 verwiesen. Dort steht wiederum explizit, dass D = {x [mm] \in \IR^2 [/mm] | x [mm] \not= [/mm] 0}.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Di 19.02.2019 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.
>
> Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass
> f(0,0):=0 "vergessen" wurde. Es wird ja explizit auf
> Beispiel 23.8 verwiesen. Dort steht wiederum explizit, dass
> D = {x [mm]\in \IR^2[/mm] | x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}.
In dem Buch wird doch davon gesprochen, dass f in (0,0) nicht stetig sei, und von den partiellen Ableitungen in (0,0) ist ebenfalls die Rede. Das alles geht doch nur, wenn f in (0,0) definiert ist.
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Hiho,
> Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass f(0,0):=0 "vergessen" wurde.
Alternativ kannst du doch einfach mal versuchen, die Definition der partiellen Ableitung anzuwenden.
1.) Halten wir fest, der Begriff (Un-)Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] macht nur Sinn, wenn die Funktion an dieser Stelle überhaupt definiert ist.
2.) Nun überlegen wir mal, was $f(0,0)$ sein muss, damit die partielle Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] in $(0,0)$ existiert und gleich Null ist.
Dazu verwenden wir die Definition der partiellen Ableitung:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0} \frac{f(0 + h,0) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] -\lim_{h\to 0} \frac{f(0,0)}{h}$
[/mm]
Nun gilt für $f(0,0) [mm] \not= [/mm] 0$ dass $ [mm] \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(0,0)}{h}\right| \to \infty$, [/mm] d.h. in diesem Fall existiert die partielle Ableitung gar nicht.
Einzig für $f(0,0) = 0$ folgt [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = 0$
D.h. $f(0,0) = 0$ gilt genau dann, wenn die partielle Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] in (0,0) existiert und gleich Null ist.
Da gibt es nix zu rütteln...
Für jede andere Festlegung von $f(0,0)$ wäre f an der Stelle nicht nur unstetig, sondern nicht mal partiell diffbar.
Gruß,
Gono
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