Existenz einer Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 01.02.2009 | | Autor: | fabwag |
| Aufgabe | | Es seien f,g,: [a;b] [mm] \to \IR [/mm] differenzierbare Funktionen mit f'(x)g(x) - f(x)g'(x) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a;b] . Weiter seien [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] zwei Nullstellen von f mit a [mm] \le x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} \le [/mm] b. Zeigen Sie: Es gibt mindestens eine weitere Nullstelle [mm] x_{3} [/mm] von g mit [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{3} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, ich habe bei dieser Aufgabe irgendwie überhaupt keinen Ansatzpunkt. Alles was ich bisher habe ist, dass f' und g in [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{2} [/mm] ungleich null sein müssen und das f nach dem Satz von Rolle mindestens ein Extremum im Intervall [mm] [x_{1}, x_{2}] [/mm] haben muss. Dort muss außerdem gelten dass g' ungleich 0 ist.
Aber dann weiß ich nicht mehr weiter. Mittelwertsatz, Monotoniekriterium diffbarer Funktionen, etc. - irgendwie liefert nichts etwas brauchbares. Vielleicht hab ich auch nur was übersehen? Vielen Dank bereits im Vorraus für die Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 So 01.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es seien f,g,: [a;b] [mm]\to \IR[/mm] differenzierbare Funktionen
> mit f'(x)g(x) - f(x)g'(x) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a;b] .
> Weiter seien [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] zwei Nullstellen von f mit a [mm]\le x_{1}[/mm]
> < [mm]x_{2} \le[/mm] b. Zeigen Sie: Es gibt mindestens eine weitere
> Nullstelle [mm]x_{3}[/mm] von g mit [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{3}[/mm] < [mm]x_{2}[/mm] .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also, ich habe bei dieser Aufgabe irgendwie überhaupt
> keinen Ansatzpunkt. Alles was ich bisher habe ist, dass f'
> und g in [mm]x_{1}[/mm] bzw. [mm]x_{2}[/mm] ungleich null sein müssen und das
> f nach dem Satz von Rolle mindestens ein Extremum im
> Intervall [mm][x_{1}, x_{2}][/mm] haben muss. Dort muss außerdem
> gelten dass g' ungleich 0 ist.
> Aber dann weiß ich nicht mehr weiter. Mittelwertsatz,
> Monotoniekriterium diffbarer Funktionen, etc. - irgendwie
> liefert nichts etwas brauchbares. Vielleicht hab ich auch
> nur was übersehen? Vielen Dank bereits im Vorraus für die
> Hilfe!
Tipp: Betrachte die Funktion [mm] $\bruch{f}{g}$, [/mm] die nur dann in ganz $[a,b]$ definiert ist, wenn g dort keine Nullstelle hat, und konstruiere einen Widerspruch!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 01.02.2009 | | Autor: | fabwag |
> Tipp: Betrachte die Funktion [mm]\bruch{f}{g}[/mm], die nur dann in
> ganz [mm][a,b][/mm] definiert ist, wenn g dort keine Nullstelle hat,
> und konstruiere einen Widerspruch!
>
> Viele Grüße
> Rainer
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Ich versuchs mal mit deinem Ansatz:
Ich nehme also an, die Funktion [mm]\bruch{f}{g}[/mm] ist überall definiert (also g hat keine Nullstellen) und es gilt f'(x)g(x) [mm] \not= [/mm] f(x)g'(x).
Dann kann ich folgern, dass ([mm]\bruch{f}{g}[/mm])' keine Nullstellen hat, also [mm]\bruch{f}{g}[/mm] monoton ist.
Zudem weiß ich, dass [mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] (x_{1})=[/mm] [mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] (x_{2})=0.
[/mm]
Nach dem Satz von Rolle müsste es deshalb aber mindestens ein [mm] x_{3} \in ]x_{1},x_{2}[ [/mm] geben mit ([mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] )'(x_{3})=0. [/mm] Dies ist jedoch ein Widerspruch zur ersten Folgerung.
Damit ergibt sich, dass die Annahme falsch war, also [mm]\bruch{f}{g}[/mm] in [mm] x_{3} [/mm] nicht definiert ist. Also ist: [mm] g(x_{3})=0. [/mm]
q.e.d.
Ich hoffe ich hab nichts wichtiges vergessen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:10 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Tipp: Betrachte die Funktion [mm]\bruch{f}{g}[/mm], die nur dann in
> > ganz [mm][a,b][/mm] definiert ist, wenn g dort keine Nullstelle hat,
> > und konstruiere einen Widerspruch!
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Danke erstmal für die schnelle Antwort!
>
> Ich versuchs mal mit deinem Ansatz:
> Ich nehme also an, die Funktion [mm]\bruch{f}{g}[/mm] ist überall
> definiert (also g hat keine Nullstellen) und es gilt
> f'(x)g(x) [mm]\not=[/mm] f(x)g'(x).
> Dann kann ich folgern, dass ([mm]\bruch{f}{g}[/mm])' keine
> Nullstellen hat, also [mm]\bruch{f}{g}[/mm] monoton ist.
Genau, es ist sogar streng monoton.
> Zudem weiß ich, dass [mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] (x_{1})=[/mm] [mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] (x_{2})=0.[/mm]
Und damit hast du schon einen Widerspruch: streng monotone Funktionen haben hoechstens eine Nullstelle -- deine Funktion hat aber zwei!
> Nach dem Satz von Rolle müsste es deshalb aber mindestens
> ein [mm]x_{3} \in ]x_{1},x_{2}[[/mm] geben mit ([mm]\bruch{f}{g}[/mm][mm] )'(x_{3})=0.[/mm]
> Dies ist jedoch ein Widerspruch zur ersten Folgerung.
> Damit ergibt sich, dass die Annahme falsch war, also
> [mm]\bruch{f}{g}[/mm] in [mm]x_{3}[/mm] nicht definiert ist. Also ist:
> [mm]g(x_{3})=0.[/mm]
Wieso; das ist doch erstmal nur ein Widerspruch dazu, dass $g$ auf $[a, b]$ keine Nullstellen hat -- das war schliesslich deine Annahme. Und nicht, dass [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] genau in diesem [mm] $x_3$ [/mm] definiert ist.
Mach das ganze doch etwas anders: nimm an dass es auf [mm] $[x_1, x_2]$ [/mm] keine Nullstellen hat; wegen der Stetigkeit von $g$ hat es dann auch auf einem etwas groesseren Intervall [mm] $[x_1 [/mm] - [mm] \varepsilon, x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon]$ [/mm] keine Nullstellen, und durch das gleiche Argument bekommst du einen Widerspruch dazu, dsas es auf [mm] $[x_1, x_2]$ [/mm] keine Nullstelle hat.
Allerdings kann es weder in [mm] $x_1$ [/mm] noch in [mm] $x_2$ [/mm] eine haben, womit du fertig bist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:13 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo nochmal
> Mach das ganze doch etwas anders: nimm an dass es auf [mm][x_1, x_2][/mm]
> keine Nullstellen hat; wegen der Stetigkeit von [mm]g[/mm] hat es
> dann auch auf einem etwas groesseren Intervall [mm][x_1 - \varepsilon, x_2 + \varepsilon][/mm]
> keine Nullstellen, und durch das gleiche Argument bekommst
> du einen Widerspruch dazu, dsas es auf [mm][x_1, x_2][/mm] keine
> Nullstelle hat.
Ich seh grad, da eure Definition von Stetigkeit offenbar keine offene Menge verlangt, kann man das mit dem [mm] $\pm \varepsilon$ [/mm] weglassen und direkt die Funktion auf [mm] $[x_1, x_2]$ [/mm] betrachten.
LG Felix
|
|
|
|
