Existenz eines Gruppenhom's < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 12.11.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und [mm] t_{1}, t_{2} \in [/mm] G mit [mm] t_{1}t_{2}t_{1} [/mm] = [mm] t_{2}t_{1}t_{2} [/mm] , [mm] t_{1}^{2} [/mm] = e, [mm] t_{2}^{2} [/mm] = e.
Zeige: Es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus [mm] \phi: S_{3} \to [/mm] G mit [mm] \phi(\tau_{1}) [/mm] = [mm] t_{1} [/mm] und [mm] \phi(\tau_{2}) [/mm] = [mm] t_{2}, [/mm] wobei [mm] \tau_{1} [/mm] = (1, 2) und [mm] \tau_{2} [/mm] = (2,3). |
Hallo!
Ich komm leider nicht weiter...
Aus der Vorlesung wissen wir, dass [mm] S_{3} [/mm] durch [mm] \tau_{1} [/mm] und [mm] \tau_{2} [/mm] erzeugt wird und dass [mm] \tau_{1}\tau_{2}\tau_{1} [/mm] = [mm] \tau_{2}\tau_{1}\tau_{2} [/mm] und [mm] \tau_{1}^{2} [/mm] = [mm] \tau_{2}^{2} [/mm] = id ist.
Von den Strukturen passt ja alles perfekt, aber ich schaff es einfach nicht zu zeigen, dass es ein Hom ist...
Ich muss doch (erstmal) zeigen, dass [mm] \forall \sigma, \rho \in S_{3} [/mm] gilt: [mm] \phi(\sigma \rho) [/mm] = [mm] \phi(\sigma) \phi(\rho).
[/mm]
Da ich aber weiß, dass [mm] S_{3} [/mm] durch [mm] \tau_{1} [/mm] und [mm] \tau_{2} [/mm] erzeugt wird, reicht es zu zeigen, dass [mm] \phi(\tau_{1} \tau_{2}) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{1}) \phi(\tau_{2}) [/mm] gilt.
Da [mm] t_{2}^{2} [/mm] = e folgt, dass [mm] t_{2} [/mm] = [mm] t_{2}^{-1}, [/mm] also auch [mm] phi(\tau_{1}) [/mm] = [mm] phi(\tau_{1})^{-1}.
[/mm]
Das sind leider alle Erkenntnisse, die ich trotz seitenweise Schreiben, erlangt habe...
Ich wär wirklich dankbar, wenn mir jemand einen Tip geben könnte!
Vielen Dank im Voraus,
Gruß, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
dein problem ist hier nur eine definitionssache. bevor du etwas über [mm] $\phi$ [/mm] zeigen kannst, musst du doch erstmal sagen, wie du [mm] $\phi$ [/mm] definierst und dann nachrechnen, dass die geforderten eigenschaften erfüllt sind. da [mm] $S_3 [/mm] = [mm] \left< \tau_1, \tau_2 \right>$, [/mm] lässt sich jedes [mm] $\sigma \in S_3$ [/mm] schreiben als [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^m \tau_{k(i)}^{\ell(i)}$ [/mm] mit $k(i) [mm] \in \{1, 2\}$ [/mm] und [mm] $\ell(i) \in \mathbb{Z}$. [/mm] setze dann [mm] $\phi(\sigma) [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^m t_{k(i)}^{\ell(i)} \in [/mm] G$ und rechne nach, dass dies den gewünschten homomorphismus definiert.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 12.11.2007 | | Autor: | hopsie |
ja klar, ich Depp!..
ich versuch's gleich mal.
Vielen Dank!! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht noch ein hinweis zu meiner letzten antwort: wenn man es so macht, muss man noch die wohldefiniertheit zeigen, dass heißt, wenn [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^m \tau_{k(i)}^{\ell(i)} [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^{m'} \tau_{k'(i)}^{\ell'(i)}$ [/mm] zwei darstellungen von [mm] $\sigma \in S_3$ [/mm] sind, dann sind auch die bilder gleich, das heißt dann gilt auch [mm] $\prod_{i = 1}^m t_{k(i)}^{\ell(i)} [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^{m'} t_{k'(i)}^{\ell'(i)}$. [/mm] aber das folgt im prinzip daraus dass in beiden gruppen "die gleichen" relationen gelten.
ansonsten kann man sich vielleicht auch etwas mit darstellungen mit möglichst kurzen produkten überlegen.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:08 Di 13.11.2007 | | Autor: | hopsie |
Hallo,
vielleicht kannst du mir bei der Wohldefiniertheit doch nochmal weiterhelfen. Hab das versucht direkt zu berechnen, komme aber nicht weit...
Sei [mm] \sigma [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^m \tau_{k(i)}^{\ell(i)} [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^{m'} \tau_{k'(i)}^{\ell'(i)}
[/mm]
Dann ist [mm] \phi (\prod_{i = 1}^m \tau_{k(i)}^{\ell(i)}) [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^m t_{k(i)}^{\ell(i)} [/mm] und [mm] \phi (\prod_{i = 1}^{m'} \tau_{k'(i)}^{\ell'(i)}) [/mm] = [mm] \prod_{i = 1}^{m'} t_{k'(i)}^{\ell'(i)}.
[/mm]
Wie kann ich denn jetzt weitermachen? Von den Relationen ist es ja schwer was einzubringen, weil das Produkt so allgemein ist...
Ich hab mal berechnet:
[mm] \phi((1)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{1}\tau_{1}) [/mm] = [mm] t_{1}^{2} [/mm] = e oder
[mm] \phi((1)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{2}\tau_{2}) [/mm] = [mm] t_{2}^{2} [/mm] = e
[mm] \phi((12)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{1}) [/mm] = [mm] t_{1}
[/mm]
[mm] \phi((23)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{2}) [/mm] = [mm] t_{2}
[/mm]
[mm] \phi((13)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{1}\tau_{2}\tau_{1}) [/mm] = [mm] t_{1}t_{2}t_{1} [/mm] oder
[mm] \phi((13)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{2}\tau_{1}\tau_{2}) [/mm] = [mm] t_{2}t_{1}t_{2} [/mm]
[mm] \phi((123)) [/mm] = [mm] \phi((12)(23)) [/mm] = [mm] \phi(\tau_{1}\tau_{2}) [/mm] = [mm] t_{1}t_{2}
[/mm]
[mm] \phi((132)) [/mm] = [mm] \phi((23)(12)) [/mm] = [mm] \phi (\tau_{2}\tau_{1}) [/mm] = [mm] t_{2}t_{1}
[/mm]
Wenn ich jetzt alle Möglichkeiten zur Berechnung der [mm] \sigma \in S_{3} [/mm] kennen würde, könnte ich das ja zeigen, aber das ist wohl utopisch. Oder kann ich mit den Berechnungen vielleicht trotzdem irgendwas anfangen?
Bzw. weiß ich nicht, wie ich genau argumentieren kann, dass die Wohldefiniertheit gezeigt wird...
Und noch eine Frage. Ich muss ja noch die Eindeutigkeit zeigen. Das kommt mir aber ein bisschen zu einfach vor, wie ich das gemacht habe:
Sie [mm] \phi' :S_{3} \to [/mm] G ein weiterer Gruppenhom mit [mm] \phi' (\tau_{i}) [/mm] = [mm] t_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1, 2}.
Dann gilt [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, 2}: [mm] \phi (\tau_{i}) [/mm] = [mm] t_{i} [/mm] = [mm] \phi' (\tau_{i}) [/mm] Also, da die [mm] \tau_{i} [/mm] die [mm] S_{3} [/mm] erzeugen, gilt [mm] \forall \sigma \in S_{3} [/mm] : [mm] \phi' (\sigma) [/mm] = [mm] \phi (\sigma). [/mm] Also ist die Eindeutigkeit gezeigt?!..
Vielen Dank im Voraus,
Gruß, hopsie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Di 13.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
das schwierigste an der wohldefiniertheit ist wohl tatsächlich das aufschreiben. sie gilt, das in [mm] $S_3$ [/mm] und in $G$ die "selben" relationen gelten, also ist [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \mathrm{id} \; \Longleftrightarrow \; \phi(\sigma) [/mm] = e$. wenn man das einsieht ist man fertig. wie man das aber transparenter aufschreibt, kann ich dir leider nicht sagen.
die eindeutigkeit von [mm] $\phi$ [/mm] stimmt aber so - da ist nicht mehr zu tuen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 17.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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