Existenz eines Homöomorphismus < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ausschnitt aus dem Beweis des Satz von Hartman-Grobman:
Es sei L(y,z) = [mm] \begin{pmatrix} By \\ Cz \end{pmatrix}
[/mm]
und T(y,z) = [mm] \begin{pmatrix} By + Y(y,z) \\ Cz + Z(y,z) \end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel [/mm] = b <1 und [mm] \parallel C^{-1} \parallel [/mm] = c <1
und [mm] \parallel [/mm] Y(y,z) [mm] \parallel \le a(\parallel y\parallel [/mm] + [mm] \parallel z\parallel)
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] Z(y,z) [mm] \parallel \le a(\parallel y\parallel [/mm] + [mm] \parallel z\parallel)
[/mm]
mit a beliebig klein.
Dann existiert ein Homöomorphismus H, so dass gilt:
L [mm] \circ [/mm] H = H [mm] \circ [/mm] T |
Beweis soweit ich ihn verstehe:
Obwohl B und C mehrdimensionale Matrizen sind, können die Funktionen L und T, sowie der Homöomorphismus H als zweidimensional angenommen werden.
Sei H(y,z) = [mm] \begin{pmatrix} \Phi(y,z) \\ \Psi(y,z) \end{pmatrix}
[/mm]
Dann ist L [mm] \circ [/mm] H = H [mm] \circ [/mm] T äquivalent zu folgenden Gleichungen:
[mm] B\Phi(y,z)=\Phi(By [/mm] + Y(y,z), Cz + Z(y,z) )
[mm] C\Psi(y,z)=\Psi(By [/mm] + Y(y,z), Cz + Z(y,z) )
Es wird die sukzessive Approximation für die zweite Gleichung definiert:
[mm] \Psi_{0}(y,z) [/mm] = z
[mm] \Psi_{k+1}(y,z)=C^{-1}\Psi_{k}(By [/mm] + Y(y,z), Cz + Z(y,z) )
Es wird gezeigt, dass es sich um eine Cauchy-Folge stetiger Funktionen handelt, die für k [mm] \to \infty [/mm] gleichförmig gegen [mm] \Psi(y,z) [/mm] konvergiert.
Das gleiche gilt für [mm] \Phi.
[/mm]
Auf ähnliche Art und Weise findet man ein [mm] \tilde H [/mm], so dass gilt
[mm] \tilde H \circ L = T \circ \tilde H [/mm]
Meine Fragen:
(1) Wie kann ich zeigen, dass H eindeutig ist?
(2) Wie kann ich zeigen, dass H bijektiv ist und die Umkehrung stetig ist?
(Die genaue Definition von Y und Z habe ich weggelassen, da man sie meiner Meinung nach nur zur Abschätzungen für die sukzessive Approximation braucht.)
Ich bin für jeden Tipp dankbar, danke für eure Mühe!
lg Tim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 30.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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