Existenz eines Minimums < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Di 16.01.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe folgendes Problem: Es sei f: X [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion auf einem normierten Raum (X, ||.||).
Es gelte f(x) >= 0 fuer alle x [mm] \in [/mm] X. Angenommen fuer jede Folge [mm] (x_i) [/mm] aus X mit [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} ||x_i|| [/mm] = [mm] \infty [/mm] gilt auch [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} f(x_i) [/mm] = [mm] \infty. [/mm]
Meine Frage ist: Hat die Funktion f ein Minimum?
Weil f stetig ist, nimmt es auf jeder kompakten Teilmenge ein Minimum ein und ausserhalb einer kompakten Teilmenge ist f groesser als ein bestimmter Wert K. Nur fehlt mir die Aussage, dass innerhalb der kompakten Teilmenge es ein x gibt mit f(x) <= K. Wie kann man das reparieren, um zu zeigen, dass f ein Minimum hat? Oder gibt es ein Beispiel einer Funktion, die obige Voraussetzungen erfuellt, jedoch kein Minimum hat?
Besten Dank und viele Gruesse
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Di 16.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> ich habe folgendes Problem: Es sei f: X [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> eine stetige Funktion auf einem normierten Raum (X, ||.||).
eine klitzekleine Nachfrage: ist $X$ endlichdimensional?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Di 16.01.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
X ist nicht notwendig endlich-dimensional. Aber wenn man die Frage nur fuer den endlichdimensionalen Fall positiv beantworten kann, so wuerde mich der Beweis auch interessieren.
beste Gruesse
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 17.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> ich habe folgendes Problem: Es sei f: X [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> eine stetige Funktion auf einem normierten Raum (X, ||.||).
>
> Es gelte f(x) >= 0 fuer alle x [mm]\in[/mm] X. Angenommen fuer jede
> Folge [mm](x_i)[/mm] aus X mit [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} ||x_i||[/mm] =
> [mm]\infty[/mm] gilt auch [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} f(x_i)[/mm] =
> [mm]\infty.[/mm]
>
> Meine Frage ist: Hat die Funktion f ein Minimum?
also, wenn $X$ endlichdimensional ist, dann kann man das so zeigen:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] := f(x)$ fuer irgendein $x$. Setze $M := [mm] \{ x \in X \mid f(x) \le \varepsilon \}$; [/mm] offensichtlich ist $M$ abgeschlossen.
Nun ist $M$ auch beschraenkt: Wenn nicht, dann gibt es eine Folge [mm] $x_n \in [/mm] M$ mit [mm] $\|x_n\| \to \infty$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$. [/mm] Nach Voraussetzung muss dann aber gelten [mm] $\lim f(x_n) \to \infty$, [/mm] ein Widerspruch zu [mm] $f(x_n) \le \varepsilon$ [/mm] fuer alle $n$.
Also ist $M$ abgeschlossen und beschraenk. Da $X$ endlichdimensional ist gilt der Satz von Heine Borel hier und somit ist $M$ kompakt. Damit nimmt $f$ auf $M$ ein Minimum an, welches nach Konstruktion von $M$ dann ein Minimum auf ganz $X$ ist.
So. Wenn $X$ nun unendlichdimensional ist, dann gilt der Satz von Heine-Borel leider nicht. Wie man da vorgeht bzw. ob die Aussage ueberhaupt stimmt weiss ich nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Do 18.01.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich danke Dir fuer den Beweis.
Beste Gruesse
bjj
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