Existenz limsup < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | physicus |
Guten Abend
Ich tue mich an folgendem Beweis etwas schwer:
Wenn $ [mm] (x_n)$ [/mm] eine beschränkte Folge ist, dann existiert der limsup. Wie zeigt man dies?
Danke und Gruss
physicus
|
|
| |
|
Hallo,
Mit [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] beschränkt, definiere:
[mm] $$(y_{n})_{n\in \IN} [/mm] := sup [mm] \{x_{k} : k \ge n \},X_{n} [/mm] := [mm] \{x_{n},x_{n+1}... \} [/mm] $$also : [mm] $$y_{n} [/mm] = sup [mm] X_{n}$$
[/mm]
da [mm] $$X_{n+1} \subset X_{n}$$ [/mm] gilt auch: [mm] $y_{n+1}\le y_{n}$ [/mm] für jedes [mm] $n\in \IN$, [/mm] also ist die Folge [mm] (y_{n}) [/mm] fallend. Da [mm] $(x_{n}) [/mm] beschränkt ist:
[mm] $$\exists [/mm] M > 0 : [mm] |x_{n}|\le [/mm] M \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $$ Das heisst: $$-M [mm] \le x_{n} \le y_{n} \le y_{1} [/mm] $$
Folglich ist [mm] $y_{n}$ [/mm] beschränkt. Da [mm] $(y_{n})$ [/mm] eine fallende beschränkte Folge ist, konvergiert diese nach dem Satz der monotonen Konvergenz.
Also existiert [mm] $\lim y_{n} [/mm] = [mm] \limsup x_{n}$. [/mm]
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 04.12.2011 | | Autor: | physicus |
Ich habe nochmals eine Anschlussfrage an obige,
wenn ich weiss, dass
$ lim inf [mm] x_n \le [/mm] M $ wobei $ M $ eine Konstante ist. Wie kann ich zeigen, dass für alle $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ gibt es ein $ N $ so dass für $ [mm] n\ge [/mm] N $ gilt:
$ [mm] x_n \le M+\epsilon [/mm] $ ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe nochmals eine Anschlussfrage an obige,
>
> wenn ich weiss, dass
>
> [mm]lim inf x_n \le M[/mm] wobei [mm]M[/mm] eine Konstante ist. Wie kann ich
> zeigen, dass für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]N[/mm] so dass
> für [mm]n\ge N[/mm] gilt:
>
> [mm]x_n \le M+\epsilon[/mm] ?
Das könntest du nur zeigen, wenn es sich beim [mm] \lim\inf [/mm] gleichzeitig um den Grenzwert der Folge handelt. Also was genau willst Du zeigen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 04.12.2011 | | Autor: | physicus |
Hm...nein das weiss ich aber nicht.
Alles was ich weiss, ist:
$ [mm] x_n [/mm] $ beschränkt und eben
$ lim inf [mm] x_n \le [/mm] M $. Daraus wird dann das obige gefolgert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Schau hier:
https://matheraum.de/read?i=846414
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nochmals eine Anschlussfrage an obige,
>
> wenn ich weiss, dass
>
> [mm]lim inf x_n \le M[/mm] wobei [mm]M[/mm] eine Konstante ist. Wie kann ich
> zeigen, dass für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]N[/mm] so dass
> für [mm]n\ge N[/mm] gilt:
>
> [mm]x_n \le M+\epsilon[/mm] ?
Gar nicht, denn das ist falsch. Nimm [mm] x_n=(-1)^n [/mm] . Dann ist lim inf [mm] x_n=-1.
[/mm]
Jetzt nimm M=0 und [mm] \epsilon=1/2.
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
|
