Existenz linearer Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Gibt es [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildungen [mm] \IR^4\to\IR^3 [/mm] die die folgenden Vektoren [mm] a_i\in\IR^4 [/mm] jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm] b_i\in\IR^3 [/mm] abbilden?
(i) [mm] a_1=(1,1,0,0), a_2=(1,1,1,0), a_3=(0,1,1,1), a_4=(0,0,1,1)
[/mm]
[mm] b_1=(1,2,3), b_2=(2,3,1), b_3=(3,1,2), b_4=(2,0,4)
[/mm]
(ii) [mm] a_1=(0,1,1,1), a_2=(1,0,1,1), a_3=(1,1,0,1)
[/mm]
[mm] b_i [/mm] wie in (i) |
Meine Überlgung hier ist die:
zu (i): hier habe ich prinzipiell ja dass eine lin Abb durch die Bilder der Basis des Urbildraums definiert ist ... aber umgekehrt das Problem dass ich von dim 4 auf dim 3 abbilde und damit eigentlich ja eine Dimension "auf Null abgebildet" werden muss was hier aber nicht der fall ist ... :-/
zu (ii): hier bilde ich zwar nur von [mm] \IR^4 [/mm] nach [mm] \IR^3 [/mm] ab habe aber nur die Bilder eines 3 dimensionalen URs gegeben d.h. ich kann eine abbildung finden die die 4. Dimension "als Kern hat" und habe damit eine lin Abb., da [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] bilden
Passt meine Überlegung bei (ii) und was habe ich bei (i)? ... Wenn mir hier jmd weiterhelfn könnte wäre ich dankbar :)
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gibt es [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildungen [mm]\IR^4\to\IR^3[/mm] die die
> folgenden Vektoren [mm]a_i\in\IR^4[/mm] jeweils auf die angegebenen
> Vektoren [mm]b_i\in\IR^3[/mm] abbilden?
>
> (i) [mm]a_1=(1,1,0,0), a_2=(1,1,1,0), a_3=(0,1,1,1), a_4=(0,0,1,1)[/mm]
>
> [mm]b_1=(1,2,3), b_2=(2,3,1), b_3=(3,1,2), b_4=(2,0,4)[/mm]
>
> (ii) [mm]a_1=(0,1,1,1), a_2=(1,0,1,1), a_3=(1,1,0,1)[/mm]
> [mm]b_i[/mm]
> wie in (i)
Hallo,
hier geht es ja darum, ob solch eine lineare Abbildung existiert.
Nicht existieren würde sie, wenn sich aus den vorgegebenen Zuordnungen Widersprüche ergeben würden.
Solange die [mm] a_i [/mm] alle inear unabhängig sind, kann es hier übrhaupt keine Probleme geben.
In i) bilden die [mm] a_i [/mm] eine Basis, und durch zuweisung der Funktionswerte liegt die lineare Abbildung f eindeutig fest.
Hätten wir hier noch ein [mm] a_5, [/mm] welches aus den ersten 4 [mm] a_i [/mm] linearkombiniert wäre, müßte man prüfen, ob der zugehörige Funktionswert [mm] b_5 [/mm] in derselbn weise eine Linearkombination der ersten 4 [mm] b_i [/mm] ist.
> Meine Überlgung hier ist die:
> zu (i): hier habe ich prinzipiell ja dass eine lin Abb
> durch die Bilder der Basis des Urbildraums definiert ist
Ja.
> ... aber umgekehrt das Problem dass ich von dim 4 auf dim 3
> abbilde und damit eigentlich ja eine Dimension "auf Null
> abgebildet" werden muss was hier aber nicht der fall ist
Wieso? Rechne doch mal den Kern der Abbildung aus? Es ist ja nicht gesagt, daß gerade einer Deiner 4 Basisvektoren auf die 0 abgebildet wird.
Zum Ausrechnen des Kerns, falls Du ihn wissen möchtest:
Löse hierfür [mm] f(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2 [/mm] + [mm] \lambda_3a_3+\lambda_4a_4)=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
> ... :-/
>
> zu (ii): hier bilde ich zwar nur von [mm]\IR^4[/mm] nach [mm]\IR^3[/mm] ab
> habe aber nur die Bilder eines 3 dimensionalen URs gegeben
> d.h. ich kann eine abbildung finden die die 4. Dimension
> "als Kern hat" und habe damit eine lin Abb., da [mm]b_1, b_2, b_3[/mm]
> eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] bilden
OB die [mm] b_i [/mm] eine Basis des Zielraumes bilden, ist für die Linearität völlig schnuppe.
[mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] sind linear unabhängig, das ist entscheidend.
Du könntest sie durch einen Vektor [mm] a_4 [/mm] zu einer Basis ergänzen.
Diesem 4. Vektor kannst Du irgendeinen Funktionswert zuweisen - und hast eine schöne lineare Abbildung damit deiniert.
Es gibt also sehr viele lineare Abbildungen mit [mm] f(a_i)=b_i, [/mm] i=1,2,3.
Gruß v. Angela
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> Passt meine Überlegung bei (ii) und was habe ich bei (i)?
> ... Wenn mir hier jmd weiterhelfn könnte wäre ich dankbar
> :)
>
> Gruß Zerwas
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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