Existenz und Eindeutigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Begründen Sie die folgende Aussage:
Durch jeden Punkt (a,b) [mm] \in \IR^{2} [/mm] verläuft genau eine Lösung der Dgl.
y´= (y+c) [mm] \cdot [/mm] cos (h(x)) (hstetig, c [mm] \in \IR) [/mm] ; diese Lösung ist aus [mm] \IR [/mm] definiert. |
Hmm... Ich gehe davon aus das ich die Existens und Eindeutigkeit (oder auch nicht) der Lösung zeigen soll... Und nun beginnt das Problem
Da ich Probleme mit den Existenzsatz von Peano, Eindeutigkeitssatz (Lipschitzbedingung) und co habe (ich habe es wohl nicht verstanden...) habe ich versucht etwas zusammenzubasteln aus alldem, dass Existenz und Eindeutigkeit zeigen soll... nun zu meinem versuch:
(Existenz: dafür muss ich zeigen das es stetig ist oder?Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig, d.h wenn ich sie einmal ableite ist die Funktion stetig.... ???)
[mm] \bruch{\delta F }{\delta y }= [/mm] cos(h(x)) (ist also stetig? und somit existiert eine Lösung?)
/versuche rauszufinden ob eindeutig Lösbar/
I = [-a,a] J= [-b,b]
II= Max l [mm] \bruch{ \delta F }{ \delta y } [/mm] l [mm] \le [/mm] L [mm] \Rightarrow
[/mm]
cos |h(x)| [mm] \le [/mm] cos (0)=1=L (da cos sein max bei 1 hat.... ?)
III M= Max (f(x,y))= [mm] \max_{x,y \in \IR } [/mm] = | ( y+c) [mm] \cdot [/mm] cos(h(x)) |= ( 1+1) [mm] \cdot [/mm] cos (0) =2
IV min {1, b/M}= min {1, 1/2}= 1/2
j= [mm] [x_{0}- \alpha [/mm] , [mm] x_{0}+\alpha] [/mm] J= [-1;1]
???? Ich habe leider keine Ahnung was zu tun ist...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Begründen Sie die folgende Aussage:
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> Durch jeden Punkt (a,b) [mm]\in \IR^{2}[/mm] verläuft genau eine
> Lösung der Dgl.
> y´= (y+c) [mm]\cdot[/mm] (h(x)) (hstetig, c [mm]\in \IR)[/mm] ; diese
> Lösung ist aus [mm]\IR[/mm] definiert.
> Hmm... Ich gehe davon aus das ich die Existens und
> Eindeutigkeit (oder auch nicht) der Lösung zeigen soll...
> Und nun beginnt das Problem
>
>
> Da ich Probleme mit den Existenzsatz von Peano,
> Eindeutigkeitssatz (Lipschitzbedingung) und co habe (ich
> habe es wohl nicht verstanden...) habe ich versucht etwas
> zusammenzubasteln aus alldem, dass Existenz und
> Eindeutigkeit zeigen soll... nun zu meinem versuch:
>
> (Existenz: dafür muss ich zeigen das es stetig ist
> oder?Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig, d.h
> wenn ich sie einmal ableite ist die Funktion stetig....
> ???)
>
> [mm]\bruch{\delta F }{\delta y }=[/mm] cos(h(x)) (ist also stetig?
> und somit existiert eine Lösung?)
Wo kommt der Cosinus denn her ?
Deine DGL lautet
y'=f(x,y),
wobei f(x,y):=(y+c)h(x) ist.
Dann ist doch
$ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)|= |h(x)|*|y_1-y_2|$
[/mm]
Was sagen Picard und Lindelöf dazu ????
FRED
>
> /versuche rauszufinden ob eindeutig Lösbar/
>
> I = [-a,a] J= [-b,b]
>
> II= Max l [mm]\bruch{ \delta F }{ \delta y }[/mm] l [mm]\le[/mm] L
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> cos |h(x)| [mm]\le[/mm] cos (0)=1=L (da cos sein max bei 1
> hat.... ?)
>
> III M= Max (f(x,y))= [mm]\max_{x,y \in \IR }[/mm] = | ( y+c) [mm]\cdot[/mm]
> cos(h(x)) |= ( 1+1) [mm]\cdot[/mm] cos (0) =2
>
> IV min {1, b/M}= min {1, 1/2}= 1/2
>
> j= [mm][x_{0}- \alpha[/mm] , [mm]x_{0}+\alpha][/mm] J= [-1;1]
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> ???? Ich habe leider keine Ahnung was zu tun ist...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Ich hatte einen Fehler in der Aufgabenstellung. Richtig lautet es:
y´= [mm] (y+c)\cdot [/mm] cos (h(x))
Es tut mir leid...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Dann wirds ja noch einfacher: wegen |cos(h(x))| [mm] \le [/mm] 1 für jedes x , bekommst Du
$ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le |y_1-y_2| [/mm] $ für alle x, [mm] y_1,y_2.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
hmm einfacher... ?
Na gut, wie bestimme ich L? Ich gehe davon aus das du annihmst cos hat sein max bei 1... und deswegen ist der gesammter ausdruck <1... aber wie bestimme ich sonst L am besten?
Oder stehe ich komplett aufm Schlauch? Ich habe das Prinzip leider nicht ganz verstanden, fürchte ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
$ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le |y_1-y_2| [/mm] $
Dann ist die Lipschitzkonstante L=1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 So 06.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Warum ist L=1? Aus welchen Rechenschritt erkenne ich das? Und was genau bedeuted das "bildlich"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le |y_1-y_2|=1* |y_1-y_2| [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 06.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hallo Fred,
L=1. ok. Aber wie genau bestimme ich L? Was muss ich dafür tun?
Vielen Dank für die Mühe
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Hallo Sandy90,
> Hallo Fred,
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> L=1. ok. Aber wie genau bestimme ich L? Was muss ich dafür
> tun?
Es ist doch
[mm]f\left(x,y\right)=\left(y+c\right)*\cos\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
Berechne jetzt [mm]\vmat{f\left(x,y_{1}\right)-f\left(x,y_{2}\right)}[/mm]
Dabei muss Du dann [mm]\vmat{\cos\left( \ h\left(x\right) \ \right)}[/mm] abschätzen.
> Vielen Dank für die Mühe
Gruss
MathePower
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