Existenz von Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen X:={1,2,3,4,5} und Y:={a,b,c,d,e} Existieren Abbildungen f,g: X [mm] \to [/mm] Y , sodass
(a) f surjektiv und nicht injektiv
(b) g injektiv und nicht surjektiv
ist? |
huhu nabend,
nachdem ich mir heute eine Anschauung für dieses thema angeschauen habe, bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass beide teilaufgaben bijektiv oder weder surjektiv noch injektiv sind. Ich wollte hiermit sichergehen ob diese vermutung richtig ist bzw wie man sie ausformulieren könnte.
LG Evelyn
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Dear Ms. Snowley, or should I say Evelyn,
> Gegeben sind die Mengen X:={1,2,3,4,5} und Y:={a,b,c,d,e}
> Existieren Abbildungen f,g: X [mm]\to[/mm] Y , sodass
> (a) f surjektiv und nicht injektiv
> (b) g injektiv und nicht surjektiv
> ist?
> huhu nabend,
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
> nachdem ich mir heute eine Anschauung für dieses thema
> angeschauen habe, bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass
> beide teilaufgaben bijektiv oder weder surjektiv noch
> injektiv sind. Ich wollte hiermit sichergehen ob diese
> vermutung richtig ist bzw wie man sie ausformulieren
> könnte.
Die Vermutung ist falsch. Sowohl für das in (a) gesuchte f als auch das in (b) gesuchte g existiert (in vielen Varianten) und ist m.E. leicht zu finden.
Vielleicht hilft es, die beiden Mengen wie Spaltenvektoren nebeneinder zu schreiben und dann Pfeile zu ziehen. Das macht es anschaulich, immer hilfreich bei neuen Themen.
Grüße
reverend
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hmm
aber wir haben 2 Mengen mit je 5 Elementen. Injektiv bedeutet ja, dass alle elemente aus X abgebildet werden auf Y. und surjektiv heisst ja, dass ich jedem element aus b min. ein element aus a zuteilen kann, also wäre es doch richtig wenn ich z.b. so zuteile:
f(1)=a f(2)=b etc. und umgekehrt könnte ich dann ja schreiben [mm] f^{-1}(a) [/mm] = 1 oder? damit ginge beides.
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Hallo,
> aber wir haben 2 Mengen mit je 5 Elementen. Injektiv
> bedeutet ja, dass alle elemente aus X abgebildet werden auf
> Y. und surjektiv heisst ja, dass ich jedem element aus b
> min. ein element aus a zuteilen kann,
Lies nochmal die Definitionen nach. Deine Fassung ist eine Merkhilfe, die hier aber leicht in die Irre führen kann.
> also wäre es doch
> richtig wenn ich z.b. so zuteile:
>
> f(1)=a f(2)=b etc. und umgekehrt könnte ich dann ja
> schreiben [mm]f^{-1}(a)[/mm] = 1 oder? damit ginge beides.
Es ist nicht die Frage, ob man injektive oder surjektive Abbildungen definieren kann oder gar, wie Dein Vorschlag, auch eine bijektive (derer es 120 gibt). Die Frage ist doch, ob man Abbildungen definieren kann, die jeweils nur injektiv bzw. nursurjektiv sind.
Grüße
reverend
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also vielleicht erstmal zu (a): nach meinem schlauen buch heisst es:
für jedes y [mm] \in [/mm] Y gibt es Höchstens (!) ein x /in X. ausserdem heisst es, dass eine Abbildung jedem (also wirklich JEDEM) element x /in X ein y /in Y zuordnet.
Weiterhin heißt es, dass bei einer surjektivität jedes y min. einmal getroffen wird, also da wir 5 elemente aus X haben die jeweils ein andre y /in Y treffen, stimmen doch injektivität UND surjektivität automatisch ein oder?
für mich gib es injektivität ohne surjektivität nur dann, wenn in Y min. ein element mehr drin ist als in X.
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Hallo nochmal,
> also vielleicht erstmal zu (a): nach meinem schlauen buch
> heisst es:
> für jedes y [mm]\in[/mm] Y gibt es Höchstens (!) ein x /in X.
> ausserdem heisst es, dass eine Abbildung jedem (also
> wirklich JEDEM) element x /in X ein y /in Y zuordnet.
Ah, dann...
Normalerweise stellt man Definitions- und Wertemenge aufgrund der Abbildung fest. Wenn Du die Aufgabe aber so wörtlich nimmst, dass in der Tat beide Mengen ganz vorkommen müssen, dann hast Du mit Deiner bisherigen Ansicht vollkommen Recht!
> Weiterhin heißt es, dass bei einer surjektivität jedes y
> min. einmal getroffen wird, also da wir 5 elemente aus X
> haben die jeweils ein andre y /in Y treffen, stimmen doch
> injektivität UND surjektivität automatisch ein oder?
> für mich gib es injektivität ohne surjektivität nur
> dann, wenn in Y min. ein element mehr drin ist als in X.
Ja, nach Deiner Definition ist das so.
Dann gibt es eben 5!=120 mögliche Abbildungen, und jede davon ist bijektiv.
Grüße
reverend
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ah supi :)
wenigstens ein kleiner teilerfolg :) schön dass meine vermutung richtig zu schein scheint. Danke für den Zuspruch ;)
LG
Evelyn
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