Existenz von Basen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 02.02.2010 | | Autor: | ehaefner |
| Aufgabe | Sei [mm] T: U \rightarrow V [/mm] eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen U und V mit dim(U) =n und dim(V)=m. Zeigen Sie:
Es existieren Basen von U und V derart, dass die Matrixdarstellung A von T die Form A= [mm] \begin{pmatrix}
I & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] hat, wobei I die r-dimensionale Einheitsmatrix ist und r= dim (Bild (T)) ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich (und alle meine Mitstudentinnen) stehen wegen der Aufgabe total auf dem Schlauch. Auch sonst haben wir an der Uni niemand gefunden der uns helfen konnte...
Folgendes haben wir uns überlegt:
T sieht "allgemein" wie folgt aus:
[mm] T(u_j) = \summe_{i=1}^{m} a_i_j*v_i [/mm] also die [mm] T(u_j) [/mm] Vektoren als Linearkombinaton der V-Vektoren
und daraus kann man dann ja A aufstellen. A hat folgende allgemeine Form
[mm] A=(a_i_j) [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
a_1_1 & \cdots & a_1_n \\
\vdots & \dots & \vdots \\
a_m_1 & \cdots & a_m_n
\end{bmatrix} [/mm]
in unserem speziellen Fall soll A ja so aussehen: A= [mm] \begin{pmatrix}
I & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
das entspricht lauter Einsen in den Diagonalelementen bis zum r-ten Element und ab dem r+1 Element und in allen anderen Elementen stehen nur Nullen.
Aber wie kann man da jetzt die Existenz der Basen beweisen, damit A in dieser Form existiert?
Über Hilfe würde ich (wir) uns wirklich freuen! Ich weiß, dass wir jetzt sehr kurzfristig Hilfe brauchen, aber wir haben uns bis vorhin selber daran versucht und haben nun frustriert aufgegeben...
Schon mal vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich (und alle meine Mitstudentinnen) stehen wegen der
> Aufgabe total auf dem Schlauch. Auch sonst haben wir an der
> Uni niemand gefunden der uns helfen konnte...
Was für ne Uni ist denn das? Das euch da keiner bei sowas helfen kann?! Doch nicht die LMU, oder?
> [mm]T(u_j) = \summe_{i=1}^{m} a_i_j*v_i [/mm] also die [mm]T(u_j)[/mm]
> Vektoren als Linearkombinaton der V-Vektoren
>
> und daraus kann man dann ja A aufstellen. A hat folgende
> allgemeine Form
>
> [mm]A=(a_i_j)[/mm] = [mm]\begin{bmatrix}
a_1_1 & \cdots & a_1_n \\
\vdots & \dots & \vdots \\
a_m_1 & \cdots & a_m_n
\end{bmatrix}[/mm]
>
> in unserem speziellen Fall soll A ja so aussehen: A=
> [mm]\begin{pmatrix}
I & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Alles richtig.
> das entspricht lauter Einsen in den Diagonalelementen bis
> zum r-ten Element und ab dem r+1 Element und in allen
> anderen Elementen stehen nur Nullen.
> Aber wie kann man da jetzt die Existenz der Basen beweisen,
> damit A in dieser Form existiert?
Roadmap to heaven: Sei T die Abbildung kann zerlege [m]U=W\oplus Ker(T)[/m]. Wähle jeweils Basen für W und dem KErn, das ergibt eine Basis von U. Nun gehen die Bilder der Basen vom Kern auf 0, die von W gehen aber auf linear unabhängige Vektoren. Diese bilden eine Basis von [m]Im(T)[/m], ergänze diese zu einer Basis von V - und ihr habt Basen wie gefordert gefunden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 02.02.2010 | | Autor: | ehaefner |
Schon mal Danke für Deine Antwort, aber ich blick das irgendwie immer noch nicht, sorry. Könntest Du das noch ein bisschen genauer erklären?
Woher bekomme ich hier den Kern(T), T ist ja nicht genauer definiert nur über A.
Kann ich für W die Standardbasis mit den Einheitsvektoren nehmen?
Und mit [mm] \oplus [/mm] meinst Du die direkte Summe?
Schon mal Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Woher bekomme ich hier den Kern(T), T ist ja nicht genauer
> definiert nur über A.
Nein, T ist gegeben. Das A, nun ja, das ergibt sich aus T, einer Basis von U, einer Basis von V - es gibt viele Matrizen, die die gleiche Abbildung beschreiben, wenn man nur andere Basen nimmt. Nur wenn du Basen in U und V fixierst, gibt es eine 1:1 Beziehung. Der Kern einer Abbildung ist ganz einfach [m]\{x|T(x)=0\}[/m]. das muss manals gegeben hinnehmen. Dies ist ein Unterraum, also hat er eine Basis - kommt ihr noch mit?
> Kann ich für W die Standardbasis mit den Einheitsvektoren
> nehmen?
Nein, ja, jein. Also du kannst Standardvektoren finden, die ein Komplement vom Kern bestimmen. Der Kern ist eindeutig durch T definiert, aber das Komplement ist beliebig wählbar. Du kannst also Vektoren aus der Standardbasis wählen, die ein W aufspannen - das ist aber nciht eindeutig.
> Und mit [mm] \oplus[/mm] meinst Du die direkte Summe?
Ja.
SEcki
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