Existenzkriterium Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:27 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Sei im Folgenden $J$ ein unbeschränktes Intervall der Form [mm] $(-\infty;a]$, $[a;\infty)$ [/mm] oder [mm] $\IR$.
[/mm]
Satz:
Sei [mm] $f:J\rightarrow\IC$ [/mm] (oder [mm] $\IR$) [/mm] stetig. Gibt es ein [mm] $k\in\IR$, [/mm] $k>1$, so dass [mm] $t\rightarrow t^k\cdot|f(t)|$ [/mm] auf $J$ beschränkt ist, dann existiert das Integral [mm] $\int_Jf(t)dt$. [/mm] |
Hi!
Ich bin gerade über dieses Existenzkriterium gestolpert. Hat das irgendeinen speziellen Namen? Wie kann man diesen Satz beweisen? Ich nehme an, irgendeine Abschätzung mit nem anderen Integral.
Und dann nochwas: Kann man das Integralvergleichskriterium (mit Reihen) irgendwie auf [mm] $\IC$ [/mm] übertragen?
Grüße, Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mo 15.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Harris!
> Sei im Folgenden [mm]J[/mm] ein unbeschränktes Intervall der Form
> [mm](-\infty;a][/mm], [mm][a;\infty)[/mm] oder [mm]\IR[/mm].
>
> Satz:
> Sei [mm]f:J\rightarrow\IC[/mm] (oder [mm]\IR[/mm]) stetig. Gibt es ein
> [mm]k\in\IR[/mm], [mm]k>1[/mm], so dass [mm]t\rightarrow t^k\cdot|f(t)|[/mm] auf [mm]J[/mm]
> beschränkt ist, dann existiert das Integral [mm]\int_Jf(t)dt[/mm].
>
> Hi!
> Ich bin gerade über dieses Existenzkriterium gestolpert.
> Hat das irgendeinen speziellen Namen? Wie kann man diesen
> Satz beweisen? Ich nehme an, irgendeine Abschätzung mit
> nem anderen Integral.
Das sollte sich mit dem Majorantenkriterium beweisen lassen, sowie damit dass das Integral ueber Teilintervalle existiert da $f$ stetig ist.
Ob es einen Namen fuer dieses Kriterium gibt weiss ich nicht...
> Und dann nochwas: Kann man das Integralvergleichskriterium
> (mit Reihen) irgendwie auf [mm]\IC[/mm] übertragen?
Auf eine gewisse Weise schon: wenn auf [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ [/mm] das Integralvergleichskriterium anwendbar ist und die Reihe demnach konvergiert, dann konvergiert natuerlich auch [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$.
[/mm]
Wenn das Integralvergleichskriterium sagt, dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ [/mm] nicht konvergiert, kann es immer noch sein dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert -- nur eben nicht absolut.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 17.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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