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| Aufgabe | | lim log [mm] (1+1/n)^n= [/mm] log exp lim log(1+ [mm] 1/n)^n= log(lim(1+1/n)^n) [/mm] |
>Hallo ihr lieben.
Ich bin gerade dran an einen Differenzialquotienten und da tauchen im Skriptum die oben aufgeschriebenen = auf. Das erste gleichheitszeichen ist mir klar, aber das zweite nicht.
Wäre toll wenn mir wer sagen könnte, wie das zustande kommt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lim log [mm](1+1/n)^n=[/mm] log exp lim log(1+ [mm]1/n)^n= log(lim(1+1/n)^n)[/mm]
>
> >Hallo ihr lieben.
> Ich bin gerade dran an einen Differenzialquotienten und da
> tauchen im Skriptum die oben aufgeschriebenen = auf. Das
> erste gleichheitszeichen ist mir klar, aber das zweite
> nicht.
> Wäre toll wenn mir wer sagen könnte, wie das zustande
> kommt
sinnvoll ist das nur, wenn man die Stetigkeit von [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] benutzt. Mit dieser gilt
[mm] $$\exp(\lim(\log(1\;+1/n)^n))=\lim\big(\exp(\log(1\;+1/n)^n)\big)=\lim\big(1\;+1/n\big)^n\,,$$
[/mm]
weil [mm] $\exp(\log(y))=id_{(0,\infty)}(y)=y$ [/mm] für alle $y > [mm] 0\,.$ [/mm]
P.S.
Sauber argumentiert man hier übrigens so:
Bekanntlich existiert [mm] \lim (1\;+1/n)^n [/mm] (und hat den Wert [mm] $e\,$: [/mm] Die Eulersche Zahl). Klar ist (damit) wegen [mm] $\exp \circ \log=id_{(0,\infty)}$
[/mm]
[mm] $$(e=\;\;)\;\;\;\lim (1\;+1/n)^n=\lim \exp\big(\log(1\;+1/n)^n\big)\,,$$
[/mm]
und weil [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] stetig ist, folgt
[mm] $$(e=\;\;)\;\;\;\blue{\lim (1\;+1/n)^n}=\lim \exp\big(\log(1\;+1/n)^n\big)=\red{\exp(\lim\big(\log(1\;+1/n)^n\big))}\,.$$
[/mm]
Somit
[mm] $$\log\Big(\blue{\lim (1\;+1/n)^n}\Big)=\log\Big(\red{\exp(\lim\big(\log(1\;+1/n)^n\big))}\Big)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge in (0, [mm] \infty) [/mm] und lim [mm] a_n [/mm] >0 , so ist, da der Log. stetig ist:
lim [mm] log(a_n)= [/mm] log (lim [mm] a_n)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ist [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Folge in (0, [mm]\infty)[/mm] und lim
> [mm]a_n[/mm] >0 , so ist, da der Log. stetig ist:
>
> lim [mm]log(a_n)=[/mm] log (lim [mm]a_n)[/mm]
wenn man das benutzt, braucht man "den Teil zwischen dem ersten und letzten =" nicht - eben deswegen habe ich diese Gleichung in dieser Form nur dann als sinnvoll interpretiert, wenn man einzig und allein die Stetigkeit von [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] benutzt.
Andernfalls hätte man doch einfach auch direkt
[mm] $$\log (\lim(1\;+1/n)^n)=\lim (\log(1\;+1/n)^n)$$
[/mm]
hinschreiben können - wozu dann noch
[mm] $$=\log \circ \exp \ldots$$
[/mm]
dazwischenfriemeln??
Gruß,
Marcel
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